Câu 15 trang 213 SGK Giải tích 12 Nâng cao, Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường...

Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường

a) y + x² = 0 và y + 3x² = 2

b) y² – 4x = 4 và 4x – y = 16

Giải

a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong là:

-x² = 2 – 3x² ⇔ x²  = 1 ⇔ x = ± 1

Diện tích cần tìm là:

(eqalign{
& S = intlimits_{ – 1}^1 {| – {x^2} – (2 – 3{x^2})|dx = intlimits_{ – 1}^1 {|2{x^2} – 2|dx} } cr
& = intlimits_{ – 1}^1 {(2 – 2{x^2})dx = (2x – {2 over 3}{x^3})|_{ – 1}^1} = {8 over 3} cr} )

b) Ta có:

(eqalign{
& {y^2} – 4x = 4 Leftrightarrow x = {{{y^2} – 4} over 4} cr
& 4x – y = 16 Leftrightarrow x = {{y + 16} over 4} cr} ) 

Phương trình tung độ giao điểm của hai đường cong là:

({y^2} – 4 = y + 16 Leftrightarrow {y^2} – y – 20 = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
y = – 4 hfill cr
ý = 5 hfill cr} ight.) 

Diện tích cần tìm là:

(eqalign{
& S = intlimits_{ – 4}^5 {|{{{y^2} – 4} over 4} – {{y + 16} over 4}|dy} cr
& = {1 over 4}intlimits_{ – 4}^5 {|{y^2} – y – 20|dy = {1 over 4}intlimits_{ – 4}^5 {( – {y^2} + y + 20)dy} } cr
& = {1 over 4}( – {{{y^3}} over 3} + {{{y^2}} over 2} + 20y)|_{ – 4}^5 = {{243} over 8} cr} )