Câu 7 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng :

Bài 7. Cho số thực (x > -1). Chứng minh rằng :

({left( {1 + x} ight)^n} ge 1 + nx)   (1)

Với mọi số nguyên dương n.

Giải

+) Với (n = 1), ta có  ({left( {1 + x} ight)^1} = 1 + x = 1 + 1.x)

Như vậy, ta có (1) đúng khi (n = 1)

+) Giả sử đã có (1) đúng khi (n = k, k in mathbb N^*), tức là: 

({left( {1 + x} ight)^k} ge 1 + kx)  

+) Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi (n = k + 1).

Thật vậy, từ giả thiết (x > -1) nên ((1+x)>0)

 Theo giả thiết qui nạp, ta có : ({left( {1 + x} ight)^k} ge 1 + kx)   (2)

Nhân hai vế của (2) với ((1+x)) ta được:

(eqalign{
& {left( {1 + x} ight)^{k + 1}} ge left( {1 + x} ight)left( {1 + kx} ight) cr
& = 1 + left( {k + 1} ight)x + k{x^2} ge 1 + left( {k + 1} ight)x cr} )

Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi (n in mathbb N^*).

zaidap.com