Câu 6 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Với mỗi số nguyên dương n ...
Với mỗi số nguyên dương n
Bài 6. Với mỗi số nguyên dương n, đặt ({u_n} = {7.2^{2n - 2}} + {3^{2n - 1}}) (1) .Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có un chia hết cho 5.
Giải:
+) Với (n = 1), ta có:
({u_1} = {7.2^{2.1 - 2}} + {3^{2.1 - 1}} = 7 + 3 = 10) (vdots) ( 5)
Suy ra (1) đúng khi (n = 1).
+) Giả sử (1) đúng khi (n = k, k in mathbb N^*), tức là:
({u_k} = [{7.2^{2k - 2}} + {3^{2k - 1}}]) (vdots) ( 5)
+) Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi (n = k + 1)
Thật vậy, ta có :
(eqalign{
& {u_{k + 1}} = {7.2^{2left( {k + 1}
ight) - 2}} + {3^{2left( {k + 1}
ight) - 1}} cr
& = {4.7.2^{2k - 2}} + {9.3^{2k - 1}} cr
& = 4left( {{{7.2}^{2k - 2}} + {3^{2k - 1}}}
ight) + 5.{3^{2k - 1}} cr
& = 4.{u_k} + {5.3^{2k - 1}},, cr} )
Vì (u_k ) (⋮) (5) (theo giả thiết qui nạp), nên suy ra ({u_{k + 1}}) chia hết cho (5) ta được điều cần chứng minh.
soanbailop6.com
