Câu 123 trang 95 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường trung tuyến AM.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường trung tuyến AM.

a. Chứng minh rằng (widehat {HAB} = widehat {MAC})

b. Gọi D, E theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Chứng minh rằng AM vuông góc với DE.

Giải:                                                                   

a. AH ⊥ BC (gt) ( Rightarrow widehat {HAB} + widehat B = {90^0})

(widehat B + widehat C = {90^0}) (vì ∆ ABC có(widehat A = {90^0}))

Suy ra: (widehat {HAB} = widehat C) (1)

∆ ABC vuông tại A có AM là trung tuyến thuộc cạnh huyền BC

⇒ AM = MC = ({1 over 2}) BC (tính chất tam giác vuông)

⇒ ∆ MAC cân tại M ( Rightarrow widehat {MAC} = widehat C) (tính chất tam giác vuông) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: (widehat {HAB} = widehat {MAC})

b. xét tứ giác ADHE có:

(widehat A = {90^0}) (gt)

(widehat {ADH} = {90^0}) (vì HD ⊥ AB)

(widehat {AEH} = {90^0}) (vì HE ⊥ AC)

Suy ra: Tứ giác ADHE là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông)

⇒ ∆ ADH = ∆ EHD (c.c.c)

( Rightarrow {widehat A_1} = widehat {HED})

(widehat {HED} + {widehat E_1} = widehat {HEA} = {90^0})

Suy ra: ({widehat E_1} + {widehat A_1} = {90^0})

              ({widehat A_1} = {widehat A_2}) (chứng minh trên)

 ( Rightarrow {widehat E_1} + {widehat A_2} = {90^0})

Gọi I là giao điểm của AM và DE

Trong ∆ AIE ta có:

(widehat {AIE} = {180^0} - left( {{{widehat E}_1} + {{widehat A}_1}} ight) = {180^0} - {90^0} = {90^0})

(Rightarrow )AM ⊥ DE.

Sachbaitap.com