Câu 115 trang 94 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Tứ giác BEDC là hình gì ? Vì sao ?

Cho tam giác ABC cân tại A, các đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G. Gọi D là điểm đối xứng với G qua M, gọi E là điểm đối xứng với G qua N. Tứ giác BEDC là hình gì ? Vì sao ?

Giải:                                                                     

Ta có: G là trọng tâm của ∆ ABC

⇒ GB = 2GM (tính chất đường trung tuyến)

GC = 2GN (tính chất đường trung tuyến)

Điểm D đối xứng với điểm G qua điểm M

⇒ MG = MD hay GD = 2 GM

Suy ra: GD = GD (1)

Điểm E đối xứng với điểm G qua điểm N

⇒ NG = NE hay GE = 2 GN

Suy ra: GC = GE (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BCDE là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Xét ∆ BCM và ∆ CBN:

BC cạnh chung

(widehat {BCM} = widehat {CBN}) (tính chất tam giác cân)

CM = BN ( vì AB = AC)

Do đó: ∆ BCM = ∆ CBN (c.g.c)

( Rightarrow {widehat B_1} = {widehat C_1})⇒ ∆ GBC cân tại G ⇒ GB = GC ⇒ BD = CE

Hình bình hành BCDE có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

Sachbaitap.com