Cách xác định đường cao của hình chóp thường gặp

Phương pháp xác định đường cao của các loại hình chóp thường gặp trong chương trình toán học phổ thông. Hướng dẫn các vẽ hình trong từng trường hợp. Các bạn hs sẽ vẽ lại vào giấy đẹp và sẽ thường xuyên sử dụng. 

PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH, VẼ ĐƯỜNG CAO CỦA HÌNH CHÓP

Hình chóp đều là khối đa diện có đáy là đa giác đều, chân đường cao của hình chóp trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy 

Cách vẽ hình:

1. Vẽ đa giác đáy
2. Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp đáy: H
3. Kẻ SH vuông góc với đáy

2. Hình chóp có đỉnh S thuộc mặt phẳng (P) vuông góc với đáy 

Cách dựng đường cao của hình chóp có mặt phẳng (P) vuông góc với đáy

1. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (P) và đáy 
2. Từ đỉnh S kẻ, SH vuông góc với giao tuyến, SH là đường cao của hình chóp

Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau đường thẳng nào trong mặt phẳng này vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.

Cách vẽ hình

Ví dụ 1: Hình chóp SABCD có mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt đáy (ABCD). 

 1. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (SAC) và đáy . AC = (SAC) ∩ (ABCD)

 2. Từ đỉnh S kẻ, SH vuông góc với giao tuyến AC, SH là đường cao của hình chóp

 Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC, có mặt bên (SAB) vuông góc với đáy (ABC)

1. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (SAB) và đáy. AB = (SAB) ∩ (ABCD)
2. Từ đỉnh S kẻ, SH vuông góc với giao tuyến AB, SH là đường cao của hình chóp

3. Hình chóp có đỉnh S thuộc giao tuyến hai mặt phẳng (α), (β) phân biệt cùng vuông góc với đáy.

1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (α), (β)
2. Giao tuyến của hai mặt phẳng là đường cao của hình chóp

Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ 3 thì giao tuyến của hai mặt phẳng vuông góc mới mặt phẳng thứ 3.

Cách vẽ hình

Ví dụ 1: Hình chóp SABC có (SAC), (SAB) cùng vuông góc với đáy.

(SAC) ∩ (SAB) = AB, → SA ⊥ (ABC), SA là đường cao

Ví dụ 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B. I là trung điểm của AB, hai mặt phẳng (SIC) và (SID) cùng vuông góc với đáy

(SIC) ∩ (SID) = SI, SI là đường cao của hình chóp

4. Hình chóp có đường thẳng d chứa S và d vuông góc với đáy: Đường cao của hình chóp là đoạn thẳng từ S đến giao điểm của d và mặt  phẳng đáy

Cách vẽ hình

Ví dụ minh họa:  Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình vuông. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác (ABC). 

• Vẽ hình vuông ABCD. Trong không gian vẽ hình vuông thì vẽ hình bình hành
• Xác định G là trọng tâm của tam giác ABC
• Dựng đường thẳng vuông góc đáy (ABCD) tại G
• Trên đường thẳng vuông góc đó. Chọn điểm S

5. Hình chóp có đỉnh S cách đều 3 đỉnh bất kỳ của mặt đáy .

Hình chóp có đỉnh cách đều 3 đỉnh bất kỳ của mặt đáy thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi 3 đỉnh đó

Cách vẽ hình: 

• Vẽ đáy của hình chóp 
• Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp của đáy
• Dựng đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm.
• Trên đường thẳng lấy điểm kí hiệu là đỉnh của hình chóp

6. Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau, Hình chóp có các cạnh bên tạo với mặt đáy cùng một góc.                         

Nếu hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc hình chóp có các cạnh bên tạo với mặt đáy cùng một góc thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

• Vẽ đáy của hình chóp 
• Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp của đáy
• Dựng đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm.
• Trên đường thẳng lấy điểm kí hiệu là đỉnh của hình chóp

Cách vẽ hình

7. Hình chóp có từ ba mặt bên trở lên tạo với mặt đáy cùng một góc

Hình chóp có ba mặt bên trở lên tạo với mặt đáy cùng một góc thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy.

Cách vẽ hình

• Vẽ đáy của hình chóp 
• Xác định tâm đường tròn nội tiếp của đáy
• Dựng đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm.
• Trên đường thẳng lấy điểm kí hiệu là đỉnh của hình chóp

8. Hình chóp có hai mặt bên liên tiếp tạo với mặt đáy cùng một góc .

 Hình chóp có hai mặt bên tạo với mặt đáy cùng một góc thì chân đường cao thuộc đường phân giác của góc với là góc của đa giác đáy có đỉnh là đỉnh chung của mặt đáy với hai mặt bên nêu ở trên.

Cách vẽ hình

• Vẽ đáy của hình chóp 
• Xác định tâm đường tròn nội tiếp của đáy
• Dựng đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm.
• Trên đường thẳng lấy điểm kí hiệu là đỉnh của hình chóp

9. Hình chóp có đỉnh S cách đều tất cả các cạnh thuộc đáy. Chân đường cao của hình chóp là tâm đường nội tiếp, bàng tiếp

Cách vẽ hình

• Vẽ đáy của hình chóp 
• Xác định tâm đường tròn nội tiếp, bàng tiếp của đáy
• Dựng đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm.
• Trên đường thẳng lấy điểm kí hiệu là đỉnh của hình chóp