Các chiến lược tìm kiếm tối ưu
Trong các chương trước chúng ta đã nghiên cứu vấn đề tìm kiếm đường đi từ trạng thái ban đầu tới trạng thái kết thúc trong không gian trạng thái. Trong mục này, ta giả sử rằng, giá phải trả để đưa trạng thái a tới trạng thái b (bởi một toán ...
Trong các chương trước chúng ta đã nghiên cứu vấn đề tìm kiếm đường đi từ trạng thái ban đầu tới trạng thái kết thúc trong không gian trạng thái. Trong mục này, ta giả sử rằng, giá phải trả để đưa trạng thái a tới trạng thái b (bởi một toán tử nào đó) là một số k(a,b) ≥ 0, ta sẽ gọi số này là độ dài cung (a,b) hoặc giá trị của cung (a,b) trong đồ thị không gian trạng thái. Độ dài của các cung được xác định tùy thuộc vào vấn đề. Chẳng hạn, trong bài toán tìm đường đi trong bản đồ giao thông, giá của cung (a,b) chính là độ dài của đường nối thành phố a với thành phố b. Độ dài đường đí được xác định là tổng độ dài của các cung trên đường đi. Vấn đề của chúng ta trong mục này, tìm đường đi ngắn nhất từ trạng thái ban đầu tới trạng thái đích. Không gian tìm kiếm ở đây bao gồm tất cả các đường đi từ trạng thái ban đầu tới trạng thái kết thúc, hàm mục tiêu được xác định ở đây là độ dài của đường đi.
Chúng ta có thể giải quyết vấn đề đặt ra bằng cách tìm tất cả các đường đi có thể có từ trạng thái ban đầu tới trạng thái đích (chẳng hạn, sử sụng các ký thuật tìm kiếm mù), sau đó so sánh độ dài của chúng, ta sẽ tìm ra đường đi ngắn nhất. Thủ tục tìm kiếm này thường được gọi là thủ tục bảo tàng Anh Quốc (British Museum Procedure). Trong thực tế, kỹ thuật này không thể áp dụng được, vì cây tìm kiếm thường rất lớn, việc tìm ra tất cả các đường đi có thể có đòi hỏi rất nhiều thời gian. Do đó chỉ có một cách tăng hiệu quả tìm kiếm là sử dụng các hàm đánh giá đề hướng dẫn sử tìm kiếm. Các phương pháp tìm kiếm đường đi ngắn nhất mà chúng ta sẽ trình bày đều là các phương pháp tìm kiếm heuristic.
Giả sử u là một trạng thái đạt tới (có dường đi từ trạng thái ban đầu u0 tới u). Ta xác định hai hàm đánh giá sau:
- g(u) là đánh giá độ dài đường đi ngắn nhất từ u0 tới u (Đường đi từ u0 tới trạng thái u không phải là trạng thái đích được gọi là đường đi một phần, để phân biệt với đường đi đầy đủ, là đường đi từ u0 tới trạng thái đích).
- h(u) là đánh giá độ dài đường đi ngắn nhất từ u tới trạng thái đích.
Hàm h(u) được gọi là chấp nhận được (hoặc đánh giá thấp) nếu với mọi trạng thái u, h(u) size 12{ <= {}} {} độ dài đường đi ngắn nhất thực tế từ u tới trạng thái đích. Chẳng hạn trong bài toán tìm đường đi ngắn nhất trên bản đồ giao thông, ta có thể xác định h(u) là độ dài đường chim bay từ u tới đích.
Ta có thể sử dụng kỹ thuật tìm kiếm leo đồi với hàm đánh giá h(u). Tất nhiên phương pháp này chỉ cho phép ta tìm được đường đi tương đối tốt, chưa chắc đã là đường đi tối ưu.
Ta cũng có thể sử dụng kỹ thuật tìm kiếm tốt nhất đầu tiên với hàm đánh giá g(u). Phương pháp này sẽ tìm ra đường đi ngắn nhất, tuy nhiên nó có thể kém hiệu quả.
Để tăng hiệu quả tìm kiếm, ta sử dụng hàm đánh giá mới :
f(u) = g(u) + h(u)
Tức là, f(u) là đánh giá độ dài đường đi ngắn nhất qua u từ trạng thái ban đầu tới trạng thái kết thúc.
Thuật toán A*
Thuật toán A* là thuật toán sử dụng kỹ thuật tìm kiếm tốt nhất đầu tiên với hàm đánh giá f(u). Để thấy được thuật toán A* làm việc như thế nào, ta xét đồ thị không gian trạng thái trong hình 3.1.
Trong đó, trạng thái ban đầu là trạng thái A, trạng thái đích là B, các số ghi cạnh các cung là độ dài đường đi, các số cạnh các đỉnh là giá trị của hàm h.Đầu tiên, phát triển đỉnh A sinh ra các đỉnh con C, D, E và F. Tính giá trị của hàm f tại các đỉnh này ta có:
g(C) = 9, f(C) = 9 + 15 = 24, g(D) = 7, f(D) = 7 + 6 = 13,
g(E) = 13, f(E) = 13 + 8 = 21, g(F) = 20, f(F) = 20 +7 = 27
Như vậy đỉnh tốt nhất là D (vì f(D) = 13 là nhỏ nhất). Phát triển D, ta nhận được các đỉnh con H và E. Ta đánh giá H và E (mới):
g(H) = g(D) + Độ dài cung (D, H) = 7 + 8 = 15, f(H) = 15 + 10 = 25.
Đường đi tới E qua D có độ dài:
g(E) = g(D) + Độ dài cung (D, E) = 7 + 4 = 11.
Vậy đỉnh E mới có đánh giá là f(E) = g(E) + h(E) = 11 + 8 = 19. Trong số các đỉnh cho phát triển, thì đỉnh E với đánh giá f(E) = 19 là đỉnh tốt nhất. Phát triển đỉnh này, ta nhận được các đỉnh con của nó là K và I. Chúng ta tiếp tục quá trình trên cho tới khi đỉnh được chọn để phát triển là đỉnh kết thúc B, độ dài đường đi ngắn nhất tới B là g(B) = 19. Quá trình tìm kiếm trên được mô tả bởi cây tìm kiếm trong hình 3.2, trong đó các số cạnh các đỉnh là các giá trị của hàm đánh giá f(u).
procedure A*;
begin
1. Khởi tạo danh sách L chỉ chứa trạng thái ban đầu;
2. loop do
2.1 if L rỗng then
{thông báo thất bại; stop};
2.2 Loại trạng thái u ở đầu danh sách L;
2.3 if u là trạng thái đích then
{thông báo thành công; stop}
2.4 for mỗi trạng thái v kề u do
{g(v) ← size 12{ leftarrow } {} g(u) + k(u,v);
f(v) ← size 12{ leftarrow } {} g(v) + h(v);
Đặt v vào danh sách L;}
2.5 Sắp xếp L theo thứ tự tăng dần của hàm f sao cho
trạng thái có giá trị của hàm f nhỏ nhất
ở đầu danh sách;
end;
Chúng ta đưa ra một số nhận xét về thuật toán A*.
- Người ta chứng minh được rằng, nếu hàm đánh giá h(u) là đánh giá thấp nhất (trường hợp đặc biệt, h(u) = 0 với mọi trạng thái u) thì thuật toán A* là thuật toán tối ưu, tức là nghiệm mà nó tìm ra là nghiệm tối ưu. Ngoài ra, nếu độ dài của các cung không nhỏ hơn một số dương δ nào đó thì thuật toán A* là thuật toán đầy đủ theo nghĩa rằng, nó luôn dừng và tìm ra nghiệm.
Chúng ta chứng minh tính tối ưu của thuật toán A*.
Giả sử thuật toán dừng lại ở đỉnh kết thúc G với độ dài đường đi từ trạng thái ban đầu u0 tới G là g(G). Vì G là đỉnh kết thúc, ta có h(G) = 0 và f(G) = g(G) + h(G) = g(G). Giả sử nghiệm tối ưu là đường đi từ u0 tới đỉnh kết thúc G1 với độ dài l. Giả sử đường đi này “thoát ra” khỏi cây tìm kiếm tại đỉnh lá n (Xem hình 3.3).
Có thể xẩy ra hai khả năng: n trùng với G1 hoặc không. Nếu n là G1 thì vì G được chọn để phát triển trước G1, nên f(G) ≤ f(G1), do đó g(G) ≤ g(G1) = l. Nếu n ≠ G1 thì do h(u) là hàm đánh giá thấp, nên f(n) = g(n) + h(n) ≤ l. Mặt khác, cũng do G được chọn để phát triển trước n, nên f(G) ≤ f(n), do đó, g(G) ≤ l. Như vậy, ta đã chứng minh được rằng độ dài của đường đi mà thuật toán tìm ra g(G) không dài hơn độ dài l của đường đi tối ưu. Vậy nó là độ dài đường đi tối ưu.
- Trong trường hợp hàm đánh giá h(u) = 0 với mọi u, thuật toán A* chính là thuật toán tìm kiếm tốt nhất đầu tiên với hàm đánh giá g(u) mà ta đã nói đến.
- Thuật toán A* đã được chứng tỏ là thuật toán hiệu quả nhất trong số các thuật toán đầy đủ và tối ưu cho vấn đề tìm kiếm đường đi ngắn nhất.
Thuật toán tìm kiếm nhánh-và-cận
Thuật toán nhánh-và-cận là thuật toán sử dụng tìm kiếm leo đồi với hàm đánh giá f(u).
Trong thuật toán này, tại mỗi bước khi phát triển trạng thái u, thì ta sẽ chọn trạng thái tốt nhất v (f(v) nhỏ nhất) trong số các trạng thái kề u đề phát triển ở bước sau. Đi xuống cho tới khi gặp trạng thái v là đích, hoặc gặp trạng thái v không có đỉnh kề, hoặc gặp trạng thái v mà f(v) lớn hơn độ dài đường đi tối ưu tạm thời, tức là đường đi đầy đủ ngắn nhất trong số các đường đi đầy đủ mà ta đã tìm ra. Trong các trường hợp này, ta không phát triển đỉnh v nữa, hay nói cách khác, ta cất đi các nhánh cây xuất phát từ v, và quay lên cha của v đề tiếp tục đi xuống trạng thái tốt nhất trong các trạng thái còn lại chưa được phát triển.
Chúng ta lại xét không gian trạng thái trong hình 3.1. Phát triển đỉnh A, ta nhận được các đỉnh con C, D, E và F, f(C) = 24, f(D) = 13, f(E) = 21, f(F) = 27. Trong số này D là tốt nhất, phát triển D, sinh ra các đỉnh con H và E, f(H) = 25, f(E) = 19. Đi xuống phát triển E, sinh ra các đỉnh con là K và I, f(K) = 17, f(I) = 18. Đi xuống phát triển K sinh ra đỉnh B với f(B) = g(B) = 21. Đi xuống B, vì B là đỉnh đích, vậy ta tìm được đường đi tối ưu tạm thời với độ dài 21. Từ B quay lên K, rồi từ K quay lên cha nó là E. Từ E đi xuống J, f(J) = 18 nhỏ hơn độ dài đường đi tạm thời (là 21). Phát triển I sinh ra các con K và B, f(K) = 25, f(B) = g(B) = 19. Đi xuống đỉnh B, vì đỉnh B là đích ta tìm được đường đi đầy đủ mới với độ dài là 19 nhỏ hơn độ dài đường đi tối ưu tạm thời cũ (21). Vậy độ dài đường đi tối ưu tạm thời bây giờ là 19. Bây giờ từ B ta lại quay lên các đỉnh còn lại chưa được phát triển. Song các đỉnh này đều có giá trị hàm đánh giá lớn hơn 19, do đó không có đỉnh nào được phát triển nữa. Như vậy, ta tìm được đường đi tối ưu với độ dài 19. Cây tìm kiếm được biểu diễn trong hình 3.4.
Thuật toán nhánh_và_cận sẽ được biểu diễn bởi thủ tục Branch_and_Bound. Trong thủ tục này, biến cost được dùng để lưu độ dài đường đi ngắn nhất. Giá trị ban đầu của cost là số đủ lớn, hoặc độ dài của một đường đi đầy đủ mà ta đã biết.
procedure Branch_and_Bound;
begin
1. Khởi tạo danh sách L chỉ chứa trạng thái ban đầu;
Gán giá trị ban đầu cho cost;
2. loop do
2.1 if L rỗng then stop;
2.2 Loại trạng thái u ở đầu danh sách L;
2.3 if u là trạng thái kết thúc then
if g(u) ≤ y then {y ← g(y); Quay lại 2.1};
2.4 if f(u) > y then Quay lại 2.1;
2.5 for mỗi trạng thái v kề u do
{g(v) ← g(u) + k(u,v);
f(v) ← g(v) + h(v);
Đặt v vào danh sách L1};
2.6 Sắp xếp L1 theo thứ tự tăng của hàm f;
2.7 Chuyển L1 vào đầu danh sách L sao cho trạng thái
ở đầu L1 trở thành ở đầu L;
end;
Người ta chứng minh được rằng, thuật toán nhánh_và_cận cũng là thuật toán đầy đủ và tối ưu nếu hàm đánh giá h(u) là đánh giá thấp và có độ dài các cung không nhỏ hơn một số dương δ nào đó.
Trong mục này chúng ta sẽ xét vấn đề tìm kiếm sau. Trên không gian tìm kiếm U được xác định hàm giá (hàm mục tiêu) cost, ứng với mỗi đối tượng x ∈ U với một giá trị số cost(x), số này được gọi là giá trị của x. Chúng ta cần tìm một đối tượng mà tại đó hàm giá trị lớn nhất, ta gọi đối tượng đó là đối tượng tốt nhất. Giả sử không gian tìm kiếm có cấu trúc cho phép ta xác định được khái niệm lân cận của mỗi đối tượng. Chẳng hạn, U là không gian trạng thái thì lân cận của trạng thái u gồm tất cả các trạng thái v kề u; nếu U là không gian các vectơ thực n-chiều thì lân cận của vectơ x = (x1, x2, ... xn) gồm tất cả các vectơ ở gần x theo khoảng cách Ơcơlit thông thường.
Trong mục này, ta sẽ xét kỹ thuật tìm kiếm leo đồi để tìm đối tượng tốt nhất. Sau đó ta sẽ xét kỹ thuật tìm kiếm gradient (gradient search). Đó là kỹ thuật leo đồi áp dụng cho không gian tìm kiếm là không gian các vectơ thực n-chiều và hàm giá là là hàm khả vi liên tục. Cuối cùng ta sẽ nghiên cứu kỹ thuật tìm kiếm mô phỏng luyện kim( simulated annealing).
Tìm kiếm leo đồi
Kỹ thuật tìm kiếm leo đồi để tìm kiếm đối tượng tốt nhất hoàn toàn giống như kỹ thuật tìm kiếm leo đồi để tìm trạng thái kết thúc đã xét ở trên. Chỉ khác là trong thuật toán leo đồi ở trên, từ một trạng thái ta "leo lên" trạng thái kề tốt nhất (được xác định bởi hàm giá), tiếp tục cho tới khi đạt tới trạng thái đích; nếu chưa đạt tới trạng thái đích mà không leo lên được nữa, thì ta tiếp tục "tụt xuống" trạng thái trước nó, rồi lại leo lên trạng thái tốt nhất còn lại. Còn ở đây, từ một đỉnh u ta chỉ leo lên đỉnh tốt nhất v (được xác định bởi hàm giá cost) trong lân cận u nếu đỉnh này "cao hơn" đỉnh u, tức là cost(v) > cost(u). Quá trình tìm kiếm sẽ dừng lại ngay khi ta không leo lên đỉnh cao hơn được nữa.
Trong thủ tục leo đồi dưới đây, biến u lưu đỉnh hiện thời, biến v lưu đỉnh tốt nhất (cost(v) nhỏ nhất) trong các đỉnh ở lân cận u. Khi thuật toán dừng, biến u sẽ lưu trong đối tượng tìm được.
procedure Hill_Climbing;
begin
1. u ← size 12{ leftarrow } {} một đối tượng ban đầu nào đó;
2. if cost(v) > cost(u) then u ← size 12{ leftarrow } {} v else stop;
end;
Tối ưu địa phương và tối ưu toàn cục
Rõ ràng là, khi thuật toán leo đồi dừng lại tại đối tương u*, thì giá của nó cost(u*) lớn hơn giá của tất cả các đối tượng nằm trong lân cận của tất cả các đối tượng trên đường đi từ đối tượng ban đầu tới trạng thái u*. Do đó nghiệm u* mà thuật toán leo đồi tìm được là tối ưu địa phương. Cần nhấn mạnh rằng không có gì đảm bảo nghiệm đó là tối ưu toàn cục theo nghĩa là cost(u*) là lớn nhất trên toàn bộ không gian tìm kiếm.
Để nhận được nghiệm tốt hơn bằng thuật toán leo đồi, ta có thể áp dụng lặp lại nhiều lần thủ tục leo đồi xuất phát từ một dãy các đối tượng ban đầu được chọn ngẫu nhiên và lưu lại nghiệm tốt nhất qua mỗi lần lặp. Nếu số lần lặp đủ lớn thì ta có thể tìm được nghiệm tối ưu.
Kết quả của thuật toán leo đồi phụ thuộc rất nhiều vào hình dáng của “mặt cong” của hàm giá. Nếu mặt cong chỉ có một số ít cực đại địa phương, thì kỹ thuật leo đồi sẽ tìm ra rất nhanh cực đại toàn cục. Song có những vấn đề mà mặt cong của hàm giá tựa như lông nhím vậy, khi đó sử dụng kỹ thuật leo đồi đòi hỏi rất nhiều thời gian.
Tìm kiếm gradient
∇f=∂f∂x1,∂f∂x2,...,∂f∂xn size 12{ nabla f= left ( { { partial f} over { partial "x1"} } , { { partial f} over { partial x2} } , "." "." "." , { { partial f} over { partial "xn"} } right )} {}Tìm kiếm gradient là kỹ thuật tìm kiếm leo đồi để tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của hàm khả vi liên tục f(x) trong không gian các vectơ thực n-chiều. Như ta đã biết, trong lân cận đủ nhỏ của điểm x = (x1,...,xn), thì hàm f tăng nhanh nhất theo hướng của vectơ gradient:
Do đó tư tưởng của tìm kiếm gradient là từ một điểm ta đi tới điểm ở lân cận nó theo hướng của vectơ gradient.
procedure Gradient_Search;
begin
x ← điểm xuất phát nào đó;
repeat
x ← x + α∇f(x);
until ∣∇f∣≺ε ;
end;
Trong thủ tục trên, α là hằng số dương nhỏ nhất xác định tỉ lệ của các bước, còn ε là hằng số dương nhỏ xác định tiêu chuẩn dừng. Bằng cách lấy các bước đủ nhỏ theo hướng của vectơ gradient chúng ta sẽ tìm được điểm cực đại địa phương, đó là điểm mà tại đó ∇f=0 size 12{ nabla f=0} {} , hoặc tìm được điểm rất gần vói cực đại địa phương.
Tìm kiếm mô phỏng luyện kim
Như đã nhấn mạnh ở trên, tìm kiếm leo đồi không đảm bảo cho ta tìm được nghiệm tối ưu toàn cục. Để cho nghiệm tìm được gần với tối ưu toàn cục, ta áp dụng kỹ thuật leo đồi lặp xuất phát từ các điểm được lựa chọn ngẫu nhiên. Bây giờ thay cho việc luôn luôn “leo lên đồi” xuất phát từ các điểm khác nhau, ta thực hiện một số bước “tụt xuống” nhằm thoát ra khỏi các điểm cực đại địa phương. Đó chính là tư tưởng của kỹ thuật tìm kiếm mô phỏng luyện kim.
Trong tìm kiếm leo đồi, khi ở một trạng thái u ta luôn luôn đi tới trạng thái tốt nhất trong lân cận nó. Còn bây giờ, trong tìm kiếm mô phỏng luyện kim, ta chọn ngẫu nhiên một trạng thái v trong lân cận u. Nếu trạng thái v được chọn tốt hơn u (cost(v) > cost(u)) thì ta đi tới v, còn nếu không ta chỉ đi tới v với một xác suất nào đó. Xác suất này giảm theo hàm mũ của “độ xấu” của trạng thái v. Xác suất này còn phụ thuộc vào tham số nhiệt độ T. Nhiệt độ T càng cao thì bước đi tới trạng thái xấu càng có khả năng được thực hiện. Trong quá trình tìm kiếm, tham số nhiệt độ T giảm dần tới không. Khi T gần không, thuật toán hoạt động gần giống như leo đồi, hầu như nó không thực hiện bước tụt xuống. Cụ thể ta xác định xác suất đi tới trạng thái xấu v từ u là eΔ/T, ở đây Δ = cost(v) - cost(u).
Sau đây là thủ tục mô phỏng luyện kim.
procedure Simulated_Anneaning;
Begin
t ← 0;
u ← trạng thái ban đầu nào đó;
T ← nhiệt độ ban đầu;
repeat
v ← trạng thái được chọn nhẫu nhiên trong lân cận u;
if cost(v) > cost(u) then u ← v
else u ← v với xác suất eΔ/T;
T ← g(T, t);
t ← t + 1;
until T đủ nhỏ
end;
Trong thủ tục trên, hàm g(T, t) thỏa mãn điều kiện g(T, t) < T với mọi t, nó xác định tốc độ giảm của nhiệt độ T. Người ta chứng minh được rằng, nếu nhiêt độ T giảm đủ chậm, thì thuật toán sẽ tìm được nghiệm tối ưu toàn cục. Thuật toán mô phỏng luyện kim đã được áp dụng thành công cho các bài toán tối ưu cỡ lớn.
Thuật toán di truyền (TTDT) là thuật toán bắt chước sự chọn lọc tự nhiên và di truyền. Trong tự nhiên, các cá thể khỏe, có khả năng thích nghi tốt với môi trường sẽ được tái sinh và nhân bản ở các thế hệ sau. Mỗi cá thể có cấu trúc gien đặc trưng cho phẩm chất của cá thể đó. Trong quá trình sinh sản, các cá thể con có thể thừa hưởng các phẩm chất của cả cha và mẹ, cấu trúc gien của nó mang một phần cấu trúc gien của cha và mẹ. Ngoài ra, trong quá trình tiến hóa, có thể xảy ra hiện tượng đột biến, cấu trúc gien của cá thể con có thể chứa các gien mà cả cha và mẹ đều không có.
Trong TTDT, mỗi cá thể được mã hóa bởi một cấu trúc dữ liệu mô tả cấu trúc gien của cá thể đó, ta sẽ gọi nó là nhiễm sắc thể (chroniosome). Mỗi nhiễm sắc thể được tạo thành từ các đơn vị được gọi là gien. Chẳng hạn, trong các TTDT cổ điển, các nhiễm sắc thể là các chuỗi nhị phân, tức là mỗi cá thể được biểu diễn bởi một chuỗi nhị phân.
TTDT sẽ làm việc trên các quần thể gồm nhiều cá thể. Một quần thể ứng với một giai đoạn phát triển sẽ được gọi là một thế hệ. Từ thế hệ ban đầu được tạo ra, TTDT bắt chước chọn lọc tự nhiên và di truyền để biến đổi các thế hệ. TTDT sử dụng các toán tử cơ bản sau đây để biến đổi các thế hệ.
- Toán tử tái sinh (reproduction) (còn được gọi là toán tử chọn lọc (selection)). Các cá thể tốt được chọn lọc để đưa vào thế hệ sau. Sự lựa chọn này được thực hiện dựa vào độ thích nghi với môi trường của mỗi cá thể. Ta sẽ gọi hàm ứng mỗi cá thể với độ thích nghi của nó là hàm thích nghi (fitness function).
- Toán tử lai ghép (crossover). Hai cá thể cha và mẹ trao đổi các gien để tạo ra hai cá thể con.
- Toán tử đột biến (mutation). Một cá thể thay đổi một số gien để tạo thành cá thể mới.
Tất cả các toán tử trên khi thực hiện đều mang tính ngẫu nhiên. Cấu trúc cơ bản của TTDT là như sau:
procedure Genetic_Algorithm;
begin
t ← 0;
Khởi tạo thế hệ ban đầu P(t);
Đánh giá P(t) (theo hàm thích nghi);
repeat
t ← t + 1;
Sinh ra thế hệ mới P(t) từ P(t-1) bởi
Chọn lọc
Lai ghép
Đột biến;
Đánh giá P(t);
until điều kiện kết thúc được thỏa mãn;
end;
Trong thủ tục trên, điều kiện kết thúc vòng lặp có thể là một số thế hệ đủ lớn nào đó, hoặc độ thích nghi của các cá thể tốt nhất trong các thế hệ kế tiếp nhau khác nhau không đáng kể. Khi thuật toán dừng, cá thể tốt nhất trong thế hệ cuối cùng được chọn làm nghiệm cần tìm.
Bây giờ ta sẽ xét chi tiết hơn toán tử chọn lọc và các toán tử di truyền (lai ghép, đột biến) trong các TTDT cổ điển.
- Chọn lọc: Việc chọn lọc các cá thể từ một quần thể dựa trên độ thích nghi của mỗi cá thể. Các cá thể có độ thích nghi cao có nhiều khả năng được chọn. Cần nhấn mạnh rằng, hàm thích nghi chỉ cần là một hàm thực dương, nó có thể không tuyến tính, không liên tục, không khả vi. Quá trình chọn lọc được thực hiện theo kỹ thuật quay bánh xe.
Giả sử thế hệ hiện thời P(t) gồm có n cá thể {x1,..,xn}. Số n được gọi là cỡ của quần thể. Với mỗi cá thể xi, ta tính độ thích nghi của nó f(xi). Tính tổng các độ thích nghi của tất cả các cá thể trong quần thể:
F = ∑ i = 1 n f ( xi ) size 12{F= Sum cSub { size 8{i=1} } cSup { size 8{n} } {f ( ital "xi" ) } } {}Mỗi lần chọn lọc, ta thực hiện hai bước sau:
- Sinh ra một số thực ngẫu nhiên q trong khoảng (0, F);
- xk là cá thể được chọn, nếu k là số nhỏ nhất sao cho
∑ i = 1 k f ( xi ) ≥ 4 size 12{ Sum cSub { size 8{i=1} } cSup { size 8{k} } {f ( ital "xi" ) >= 4} } {}Việc chọn lọc theo hai bước trên có thể minh họa như sau: Ta có một bánh xe được chia thành n phần, mỗi phần ứng với độ thích nghi của một cá thể (hình 3.5). Một mũi tên chỉ vào bánh xe. Quay bánh xe, khi bánh xe dừng, mũi tên chỉ vào phần nào, cá thể ứng với phần đó được chọn.
Rõ ràng là với cách chọn này, các cá thể có thể có độ thích nghi càng cao càng có khả năng được chọn. Các cá thể có độ thích nghi cao có thể có một hay nhiều bản sao, các cá thể có độ thích nghi thấp có thể không có mặt ở thế hệ sau (nó bị chết đi).
- Lai ghép: Trên cá thể được chọn lọc, ta tíến hành toán tử lai ghép. Đầu tiên ta cần đưa ra xác suất lai ghép pc. xác suất này cho ta hy vọng có pc.n cá thể được lai ghép (n là cỡ của quần thể).
Với mỗi cá thể ta thực hiện hai bước sau:
- Sinh ra số thực ngẫu nhiên r trong đoạn [0, 1];
- Nếu r < pc thì cá thể đó được chọn để lai ghép
Từ các cá thể được chọn để lai ghép, người ta cặp đôi chúng một cách ngẫu nhiên. Trong trường hợp các nhiễm sắc thể là các chuỗi nhị phân có độ dài cố định m, ta có thể thực hiện lai ghép như sau: Với mỗi cặp, sinh ra một số nguyên ngẫu nhiên p trên đoạn [0, m -1], p là vị trí điểm ghép. Cặp gồm hai nhiễm sắc thể
a = (a 1 , ... , a p , a p+1 , ... , a m )
a = (b 1 , ... , b p , b p+1 , ... , b m )
được thay bởi hai con là:
a' = (a 1 , ... , a p , b p+1 , ... , b m )
b' = (b 1 , ... , b p , a p+1 , ... , a m )
- Đột biến: Ta thực hiện toán tử đột biến trên các cá thể có được sau quá trình lai ghép. Đột biến là thay đổi trạng thái một số gien nào đó trong nhiễm sắc thể. Mỗi gien chịu đột biến với xác suất pm. Xác suất đột biến pm do ta xác định và là xác suất thấp. Sau đây là toán tử đột biến trên các nhiễm sắc thể chuỗi nhị phân.
Với mỗi vị trí i trong nhiễm sắc thể:
a = (a 1 , ... , a i , ... , a m )
Ta sinh ra một số thực nghiệm ngẫu nhiên pi trong [0,1]. Qua đột biến a được biến thành a’ như sau:
a' = (a' 1 , ... , a' i , ... , a' m )
Trong đó :
Sau quá trình chọn lọc, lai ghép, đột biến, một thế hệ mới được sinh ra. Công việc còn lại của thuật toán di truyền bây giờ chỉ là lặp lại các bước trên.
Xét bài toán tìm max của hàm f(x) = x2 với x là số nguyên trên đoạn [0,31]. Để sử dụng TTDT, ta mã hoá mỗi số nguyên x trong đoạn [0,31] bởi một số nhị phân độ dài 5, chẳng hạn, chuỗi 11000 là mã của số nguyên 24. Hàm thích nghi được xác định là chính hàm f(x) = x2. Quần thể ban đầu gồm 4 cá thể (cỡ của quần thể là n = 4). Thực hiện quá trình chọn lọc, ta nhận được kết quả trong bảng sau. Trong bảng này, ta thấy cá thể 2 có độ thích nghi cao nhất (576) nên nó được chọn 2 lần, cá thể 3 có độ thích nghi thấp nhất (64) không được chọn lần nào. Mỗi cá thể 1 và 4 được chọn 1 lần.
| Số liệu cá thể | Quần thể ban đầu | x | Độ thích nghi f(x) = x2 | Số lần được chọn |
| 1 | 0 1 1 0 1 | 13 | 169 | 1 |
| 2 | 1 1 0 0 0 | 24 | 576 | 2 |
| 3 | 0 1 0 0 0 | 8 | 64 | 0 |
| 4 | 1 0 0 1 1 | 19 | 361 | 1 |
Thực hiện qúa trình lai ghép với xác suất lai ghép pc = 1, cả 4 cá thể sau chọn lọc đều được lai ghép. Kết quả lai ghép được cho trong bảng sau. Trong bảng này, chuỗi thứ nhất được lai ghép với chuỗi thứ hai với điểm ghép là 4, hai chuỗi còn lại được lai ghép với nhau với điểm ghép là 2.
| Quần thể sau chọn lọc | Điểm ghép | Quần thể sau lai ghép | x | Độ thích nghi f(x) = x2 |
| 0 1 1 0 | 1 | 4 | 0 1 1 0 0 | 2 | 144 |
| 1 1 0 0 | 0 | 4 | 1 1 0 0 1 | 5 | 625 |
| 1 1 | 0 0 0 | 2 | 1 1 0 1 1 | 7 | 729 |
| 1 0 | 0 1 1 | 2 | 1 0 0 0 0 | 6 | 256 |
Để thực hiện quá trình đột biến, ta chọn xác suất đột biến pm= 0,001, tức là ta hy vọng có 5.4.0,001 = 0,02 bit được đột biến. Thực tế sẽ không có bit nào được đột biến. Như vậy thế hệ mới là quần thể sau lai ghép. Trong thế hệ ban đầu, độ thích nghi cao nhất là 576, độ thích nghi trung bình 292. Trong thế hệ sau, độ thích nghi cao nhất là 729, trung bình là 438. Chỉ qua một thế hệ, các cá thể đã “tốt lên” rất nhiều.
Thuật toán di truyền khác với các thuật toán tối ưu khác ở các điểm sau:
- TTDT chỉ sử dụng hàm thích để hướng dẫn sự tìm kiếm, hàm thích nghi chỉ cần là hàm thực dương. Ngoài ra, nó không đòi hỏi không gian tìm kiếm phải có cấu trúc nào cả.
- TTDT làm việc trên các nhiễm sắc thể là mã của các cá thể cần tìm.
- TTDT tìm kiếm từ một quần thể gồm nhiều cá thể.
- Các toán tử trong TTDT đều mang tính ngẫu nhiên.
Để giải quyết một vấn đề bằng TTDT, chúng ta cần thực hiện các bước sau đây:
- Trước hết ta cần mã hóa các đối tượng cần tìm bởi một cấu trúc dữ liệu nào đó. Chẳng hạn, trong các TTDT cổ điển, như trong ví dụ trên, ta sử dụng mã nhị phân.
- Thiết kế hàm thích nghi. Trong các bài toán tối ưu, hàm thích nghi được xác định dựa vào hàm mục tiêu.
- Trên cơ sở cấu trúc của nhiễm sắc thể, thiết kế các toán tử di truyền (lai ghép, đột biến) cho phù hợp với các vấn đề cần giải quyết.
- Xác định cỡ của quần thể và khởi tạo quần thể ban đầu.
- Xác định xác suất lai ghép pc và xác suất đột biến. Xác suất đột biến cần là xác suất thấp. Người ta (Goldberg, 1989) khuyên rằng nên chọn xác suất lai ghép là 0,6 và xác suất đột biến là 0,03. Tuy nhiên cần qua thử nghiệm để tìm ra các xác suất thích hợp cho vấn đề cần giải quyết.
Nói chung thuật ngữ TTDT là để chỉ TTDT cổ điển, khi mà cấu trúc của các nhiễm sắc thể là các chuỗi nhị phân với các toán tử di truyền đã được mô tả ở trên. Song trong nhiều vấn đề thực tế, thuận tiện hơn, ta có thể biểu diễn nhiễm sắc thể bởi các cấu trúc khác, chẳng hạn vectơ thực, mảng hai chiều, cây,... Tương ứng với cấu trúc của nhiễm sắc thể, có thể có nhiều cách xác định các toán tử di truyền. Quá trình sinh ra thế hệ mới P(t) từ thế hệ cũ P(t - 1) cũng có nhiều cách chọn lựa. Người ta gọi chung các thuật toán này là thuật toán tiến hóa (evolutionary algorithms) hoặc chương trình tiến hóa (evolution program).
Thuật toán tiến hóa đã được áp dụng trong các vấn đề tối ưu và học máy. Để hiểu biết sâu sắc hơn về thuật toán tiến hoá, bạn đọc có thể tìm đọc [ ], [ ] và [ ] . [ ] và [ ] được xem là các sách hay nhất viết về TTDT. [ ] cho ta cái nhìn tổng quát về sự phát triển gần đây của TTDT.
