Bài toán về cái bể nước

Từ điều vừa nói trên, chỉ tiến thêm một bước nữa là đến các bài toán lừng danh về cái bể chứa nước mà từ trước đến nay không một quyển toán tập nào về số học và đại số học lại không nhắc đến.

Mọi người chắc còn nhớ các bài toán giáo điều cổ điển và buồn tẻ đại loại như sau:

Bài toán về cái bể nước.

«Bể nước có hai cái vòi: một chảy ra và một chảy vào khác nhau. Cho nước chảy vào đầy bể theo vòi thứ nhất mất 5 giờ. Cho nước chảy ra sạch bể qua vòi thứ hai phải hết 10 giờ. Hỏi, mở cả hai cái vòi cùng một lúc thì để nước vào đầy cái bể trống phải mất hết bao nhiêu thời gian?»

Các bài toán loại này có đã lâu đời lắm rồi — hầu như trên 20 thế kỷ, bắt nguồn từ thời Herong Alecxanđri. Đây là một trong số các bài toán của Heron,—thật ra, không rắc rồi lắm như những bài toán hậu sinh của nó:

Cho bốn cái vòi phun nước vào một bể chứa.

Để phun nước vào đầy bể:

Vòi thứ nhất chỉ mất một ngày một đêm,

Vòi, thứ hai phải hai ngày hai đêm,

Vòi thứ ba, ba lần yếu hơn vòi thứ nhất,

Vòi thứ tư phải bốn ngày bốn đêm.

Hãy trả lời tôi: để phun nước vào đẩy bể,

Bồn cái vòi được mở cùng một lúc,

Phải mất hết bao nhiêu thời gian?

Hai ngàn năm giải các bài toán về bể chứa nước thì hai ngàn năm giải không đúng (thế mới biết sức mạnh của đầu óc báo thủ là như thế nào!). Tại sao lại không đúng? — chắc là bạn đã tự hiểu được sau những điều vừa nói đến về dòng cháy của nước.

Người ta dạy cách giải các bài toán về bể nước như thế nào? Chẳng hạn người ta giải bài toán thứ nhất như thế này. Sau một giờ vòi thứ nhất rót vào được 1/5 bể nước, vòi thứ hai chảy ra mất 1/10 bể nước; nghĩa là khi cả hai vòi cùng làm việc thì sau mỗi giờ nước vào bể được:

1/5 - 1/10 = 1/10

do đó để nước vào đầy bể phải mất hết 10 giờ.

Cách biện luận này không đúng; nếu nước chảy vào có thể xem là chảy dưới một áp suất không đổi và do đó mà chảy đều đặn, thì nước chảy ra lại chảy cùng với sự thay đổi mực nước, nghĩa là không đều đặn. Từ đó mà sau 10 giờ qua vòi thứ hai nước không chảy ra hết, và hoàn toàn không thể kết luận rằng cứ mỗi giờ nước chảy ra được 1/10 bể chứa; cách giải của học sinh như chúng ta thấy đầy, là sai. Bài toán này không thể giải đúng bằng các phương pháp toán học sơ cấp, vì vậy các bài toán về bể chứa nước (với nước chảy ra) hoàn toàn không nên đưa vào các tập bài toán số học[1].