Bài toán cứ tưởng đơn giản

Cái ấm nấu nước gọi là ấm xamôva, chứa đầy 30 cốc nước. Bạn hãy đặt một cái cốc ở dưới vòi ấm, mở vòi cho nước chảy vào cốc và trong tay cầm chiếc đồng hồ có kim giây để theo dõi đến bao giờ thì cốc đầy nước. Giả thử hết nửa phút. Bây giờ ta nêu câu hỏi: nếu cứ mở vòi thì mất bao nhiêu thời gian để cho nước trong ấm chảy ra hết?

Cứ tưởng rằng ở đây là bài toán sốhọc đơn giản của trẻ em: một cốc nước chảy hết nửa phút, — 30 cốc, tất nhiên chảy hết 15 phút.

Nhưng cũng chẳng phải thí nghiệm làm gì. Té ra nước trong ấm chảy hết ra, mất không phải một phần tư giờ như bạn tưởng, mà là nửa giờ!

Vấn đề ở chỗ nào? Bài toán dễ đến thế cơ mà!

Đơn giản, nhưng không đúng. Không thể nghĩ rằng tốc độ của nước trong âm chảy ra từ đầu đến cuồi đều như nhau. Sau khi chảy ra được một cốc, vòi nước sẽ chảy ra dưới áp suất ít hơn, bởi vì mực nước trong ấm đã giảm bớt đi; và tất nhiên, để rót đầy cốc nước thứ hai phải tốn thời gian nhiều hơn là nửa phút, đến cốc thứ ba lại còn phải nhiều hơn nữa và V. V..

Tốc độ cháy của mọi chất lỏng ra khỏi lỗ ở một bình hở, phụ thuộc trực tiếp vào chiều cao của cột chất lỏng phía trên lỗ. Nhà vật lý thiên tài người Ý. E. Torixenli (1608— 1647), học trò của Galilê, là người đầu tiên đã nêu lên sự phụ thuộc này và biểu thị bằng công thức đơn giản:

trong đó, v—vận tốc chảy, g—gia tốc rơi tự do,

Chất nào sẽ chảy ra chóng hơn: thủy ngân hay là cồn? Biết rằng mực thủy ngân và cồn trong hai bình đều như nhau.

h — chiều cao mực chất lỏng phía trên lỗ. Từ công thức này cho thấy tốc độ nước chảy hoàn toàn không phụ thuộc vào mật độ của chất lỏng: cồn nhẹ hay thủy ngân nặng khi có mực chiều cao như nhau sẽ chảy ra với một tốc độ như nhau. Cũng từ công thức này cho thấy trên Mặt Trăng, nơi trọng lực 6 lần yếu hơn trên Trái Đất, thì thời gian cần để rót nước đầy cốc phải 2,5 lần lớn hơn ở trên Trái Đất.

Nhưng chúng ta hãy trở lại với bài toán. Nếu như sau khi chảy ra được 20 cốc nước, mực nước trong ấm (kể từ lỗ & vòi) hạ xuống bồn lẫn, thì để rót đầy nước vào cốc thứ hai mươi mốt phải cần một thời gian hai lần lâu hơn so với thời gian rót đầy cốc thứ nhất. Và tiếp theo, nếu mực nước hạ xuống chín lần, thì để rót đầy những cốc cuối cùng phải cần một thời gian ba lần nhiều hơn so với rót đầy cốc thứ nhất. Mọi người đều biết nước ở vòi ấm xamôva khi đã cạn chảy ra chậm chạp như thế nào rồi. Gỉai bài toán này bằng các thuật toán cao cấp có thể chứng minh được rằng, thời gian cần để rót hết nước ra khỏi ấm phải là hai lần nhiều hơn thời gian để rót ra một thể tích nước như thế nhưng luôn luôn giữ nguyên mực nước ban đầu không đổi.