Bài tập trắc nghiệm Hình học 12: Mặt cầu (Phần 2)

Câu 10: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi hình chóp có đáy là một tứ giác nội tiếp được đường tròn.

B. Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp nếu nó là hình chóp tam giác

C. Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp nếu nó có các cạnh bên bằng nhau.

D. Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp nếu có cạnh bên vuông góc với đáy.

Câu 11: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hình lăng trụ có mặtc ầu ngoại tiếp nếu đáy của nó là hình vuông

B. Hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp nếu nó là lăng trụ đứng

C. Hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp nếu nó có đáy là đa giác nội tiếp được đường tròn

D. Hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp nếu nó là lăng trụ đứng tam giác.

Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy và SA = a. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:

Câu 13: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là:

Câu 14: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có góc giữa SA và đáy là 45^o , cạnh đáy BC = a. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:

Câu 15: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC = a√2 và góc giữa mặt phẳng (A’BC) và mặt phẳng (ABC) là 60^o . Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là:

Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng 2a, ΔSAB là tam giác đều và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy hình chóp. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là :

Câu 17: Cho đường thẳng a và điểm A cách đường thẳng a một khoảng bằng 4cm. Trong các mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng a, mặt cầu (S) có diện tích nhỏ nhất thì diện tích đó bằng :

A. 4π(cm²)   B. 16π/3(cm²)   C. 16π(cm²)   D. 64π(cm²)

Hướng dẫn giải và Đáp án

Câu 10:

Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi hình chóp đó có đáy là một đa giác nội tiếp được đường tròn nên mệnh đề A và B đúng. Hình chps có các cạnh bên bằng nhau có hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy nên hình chóp đó có đáy nội tiếp được đường tròn và do đó đáp án C đúng.

Đáp án cần chọn là D.

Câu 12:

Tam giác ABC vuông tại B nên ta có . Theo định lí ba đường vuông góc ta có tam giác SBC, SDC lần lượt vuông tại B, D. Gọi I là trung điểm của SC. Từ các tam giác SAC, SBC, SDC vuông ta có:

Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD và bán kính mặt cầu là

Đáp án đúng là C.

Câu 13:

Ta nhận thấy tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương chính là tâm của hình lập phương đó. Do đó I chính là trung điểm của AC’ và mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có bán kính là

Đáp án đúng là C.

Câu 14:

Gọi O là tâm của tam giác đều ABC. Gọi M, K lần lượt là trung điểm của BC và SA. Do S.ABC là hình chóp đều nên ta có SO ⊥ (ABC) , suy ra SO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Trong tam giác SAO, trung trực của SA cắt SO tại I. Khi đó ta có:

Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC và bán kính mặt cầu là r = SI. Ta có:

Mặt khác ta có:

Ta có:

Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:

Đáp án đúng là D.

Chú ý:

Trong ví dụ này ta có ΔOAS vuông cân ở O (do ∠SAO = 45^o ) nên OS=OA. Mặt khác OA=OB=OC nên ta có I = O .

Câu 15:

Gọi H là trung điểm của BC. Khi đó ta có BC ⊥ AH, BC ⊥ AA' , do đó BC ⊥ (A'AH) . Ta có :

Xét tam giác vuông ABC ta có

Gọi H’ là trung điểm của B’C’, khi đó HH’ là trục của hai đường tròn ngoại tiếp hai đáy của lăng trụ. Vậy trung điểm I của HH’ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A'B'C'. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là :

Đáp án đúng là B.

Câu 16:

Gọi H là trung điểm AB, suy ra SH ⊥ AB. Ta có :

Gọi O là tâm hình vuông ABCD và G là tâm của tam giác đều SAB.

Xét tam giác đều SAB ta có:

Dựng hình bình hành OHGI thì OHGI là hình chữ nhật. Hơn nữa ta có OI là trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD và GI là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB. Vậy điểm I cách đều các đỉnh của hình chóp và I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là :

Đáp án đúng là B.

Câu 17:

Gọi S(I ;r) là mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với a.

Ta có diện tích của mặt cầu là : S = 4πr³ nên S đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi r đạt giá trị nhỏ nhất.

Gọi tiếp điểm của đường thẳng a và mặt cầu là H và hình chiếu vuông góc hạ từ A lên đường thẳng A là A’. Khi đó ta có :

2r = IA + IH ≥ AH ≥ AA' => r ≥ AA'/2 = 2(cm)

Vậy r đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2cm khi I là trung điểm của AA’.

Khi đó mặt cầu (S) có diện tích nhỏ nhất là S = 4π2² = 16π(cm²).

Đáp án đúng là C.