Lý thuyết Phương trình mặt phẳng

1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Định nghĩa. Cho mặt phẳng (P). Vectơ n→ khác 0→ và có giá vuông góc với mặt phẳng (P) được gọi là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Chú ý. Giá của một vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) thường được kí hiệu là n_P→

Một mặt phẳng (P) có vô số vectơ pháp tuyến. Nếu n_P→ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) thì k.n_P→ (k ≠ 0) cũng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

a) Tích có hướng của hai vectơ

Trước hết ta nhắc lại khái niệm định thức cấp hai để thuận lợi cho việc sử dụng

Cho hai vectơ u→ = (x₁; y₁; z₁), v→ = (x₂; y₂; z₂). Tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ u→ và v→ , kí hiệu là [u→, v→] (hay u→ ∧ v→ ) và được xác định như sau

Từ định nghĩa suy ra:

Chúng ta có thể kiểm tra lại được rằng tích có hướng [u→, v→] vuông góc với cả hai vectơ thành phần u→ và v→ .

b) Phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(x₀, y₀, z₀) và nhận vectơ n_P→ (khác 0→ ) làm vectơ pháp tuyến là:

A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0

c) Nếu mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có một vectơ pháp tuyến là n_P→ = (A; B; C)

d) Phương trình mặt phẳng chắn

Cho mặt phẳng (P) không đi qua gốc tọa độ và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c). Khi đó phương trình của mặt phẳng (P) theo đoạn chắn là:

e) Một số chú ý để lập phương trình mặt phẳng

• Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) ((Q) cho trước) song song với nhau thì ta có thể chọn một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) đã cho.

• Nếu ta tìm được hai vectơ u→ và v→ (khác phương) cùng vuông góc với vectơ pháp tuyến n_P→ của mặt phẳng (P) thì để viết được phương trình mặt phẳng (P) ta có thể chọn n_P→ = [u→, v→]

• Nếu (P) ⊥ (Q) thì n_P→ ⊥ n_Q→

• Nếu hai điểm A, B cùng thuộc mặt phẳng (P) hoặc đường thẳng AB song song với mặt phẳng (P) thì n_P→ ⊥ AB→

3. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình tổng quát lần lượt là:

A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0, A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0

Gọi n_P→ = (A₁; B₁; C₁), n_Q→ = (A₂; B₂; C₂) lần lượt là vectơ pháp tuyến của (P) và (Q). Ta có:

Khi các số A₂, B₂, C₂, D₂ đều khác 0, hệ (I) tương đương với hệ điều kiện

Chú ý.

• (P) cắt (Q) khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến của chúng không song song

Khi các số A₂, B₂, C₂, D₂ đều khác 0, hệ (II) tương đương với hệ điều kiện

4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm M(x₀, y₀, z₀) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 được tính bởi công thức:

Một số áp dụng:

• Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Khi đó ta có:

d((P), (Q)) = d(M, (Q)) = d(N, (P))

trong đó M là một điểm bất kì thuộc (P), N là điểm bất kì thuộc (Q).

• Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng (song song): Cho đường thẳng Δ song song với mặt phẳng (P). Khi đó ta có

d(Δ, (P)) = d(M, (P))

trong đó M là một điểm bất kì thuộc Δ.