Bài 8 trang 93 Toán Hình học 12: viết phương trình mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu...

Bài 8. Trong hệ toạ độ (Oxyz), viết phương trình mặt phẳng ((α)) tiếp xúc với mặt cầu

(S): ({x^2} + {y^2} + {z^2} – 10x + 2y + 26z + 170 = 0)

và song song với hai đường thẳng

(d:left{ matrix{
x = – 5 + 2t hfill cr
y = 1 – 3t hfill cr
z = – 13 + 2t hfill cr} ight.)

(d’:left{ matrix{
x = – 7 + 3k hfill cr
y = – 1 – 2k hfill cr
z = 8 hfill cr} ight.)

Giải

Đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương (overrightarrow a = (2; -3; 2))

                    (d’) có vectơ chỉ phương (overrightarrow {a’}  = (3; -2; 0))

Mặt phẳng ((α)) song song với (d) và (d’) nhận vectơ (overrightarrow n  = left[ {overrightarrow a ,overrightarrow {a’} } ight]) làm vectơ pháp tuyến.

(overrightarrow n ) = (4; 6; 5)

Phương trình mặt phẳng ((α)) có dạng: (4x + 6y + 5z + D = 0)

Mặt cầu ((S)) có tâm (I(5; -1; -13)) và bán kính (R = 5). Để ((α)) tiếp xúc với mặt cầu ((S)), ta phải có:

(d(I, (α)) = R  Leftrightarrow {{left| {4.5 + 6( – 1) + 5( – 13) + D} ight|} over {sqrt {{4^2} + {6^2} + {5^2}} }} = 5)

                     ( Leftrightarrow left| {D – 5} ight| = 5sqrt {77} )

Ta được hai mặt phẳng thoả mãn yêu cầu:

+) (D – 51 = 5sqrt{77}) ( Rightarrow ({alpha _1}):4x + 6y + 5z + 51 + 5sqrt {77}  = 0)

+) (D – 51 = -5sqrt{77}) ( Rightarrow ({alpha _2}):4x + 6y + 5z + 51 – 5sqrt {77}  = 0)