Bài 12 trang 93 SGK Hình học 12: rong hệ toạ độ Oxyz, tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với điểm A(1 ; -2 ; -5)...

Bài 12. Trong hệ toạ độ (Oxyz), tìm toạ độ điểm (A’) đối xứng với điểm (A(1 ; -2 ; -5)) qua đường thẳng (∆) có phương trình

(left{ matrix{
x = 1 + 2t hfill cr
y = – 1 – t hfill cr
z = 2t. hfill cr} ight.)

Giải

Gọi (H) là hình chiếu vuông góc của (A) lên đường thẳng (△). Khi đó (H) là trung điểm của (AA’).

Xét mặt phẳng ((P)) qua (A) và ((P) ⊥ △). Khi đó (H = (P) ⋂ △).

Vì (overrightarrow u (2; -1; 2)) là vectơ chỉ phương của (△) nên (overrightarrow u ) là vectơ pháp tuyến của ((P)). Phương trình mặt phẳng ((P)) có dạng: (2(x – 1) – (y + 2) + 2(z + 5) = 0)

hay (2x – y + 2z + 6 = 0)                                                          (1)

Để tìm giao điểm (H = (P) ⋂ △). Thay toạ độ (x, y, z) trong phương trình của (△) vào (1), ta có: (2(1 + 2t) + (1 + t) + 4t + 6 = 0)

( Rightarrow 9t + 9 = 0Rightarrow  t = -1) ( Rightarrow  H(-1; 0; -2)).

Từ đó ta tìm được (A'(-3; 2; 1))