Bài 77 trang 155 SGK Đại số 10 nâng cao
Chứng minh các bất đẳng thức sau: ...
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) (a + b + c ge sqrt {ab} + sqrt {bc} + sqrt {ca} ) với a ≥ 0; b ≥ 0; c ≥ 0
b) a2b2 + b2c2 + c2a2 ≥ abc(a + b +c) với mọi a,b,c ∈ R
Khi nào có đẳng thức?
Đáp án
a) Ta có:
(eqalign{
& a + b + c ge sqrt {ab} + sqrt {bc} + sqrt {ca} cr
& Leftrightarrow 2a + 2b + 2c - 2sqrt {ab} - 2sqrt {bc} - 2sqrt {ca} ge 0 cr
& Leftrightarrow (a - 2sqrt {ab} + b) + (b - 2sqrt {bc} + c) cr&;;;;;;+ (c - 2sqrt {ac} + a) ge 0 cr
& Leftrightarrow {(sqrt a - sqrt b )^2} + {(sqrt b - sqrt c )^2} + {(sqrt c - sqrt a )^2} ge 0 cr} )
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
b) Ta có:
a2b2 + b2c2 + c2a2 ≥ abc(a + b +c)
⇔ 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 ≥ 2abc(a + b +c)
⇔ (a2b2 – 2a2bc+ a2c2) + (a2c2 – 2c2ab +b2c2) +(a2b2 – 2b2ac +b2c2) ≥ 0
⇔ (ab – ac)2 + (ac – bc)2 + (ab – bc)2 ≥ 0 (luôn đúng)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc 2 trong 3 số a, b, c = 0
soanbailop6.com