Bài 62 trang 57 SGK giải tích 12 nâng cao, a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: b) Chứng minh rằng giao điểm I của hai đường...

Bài 62.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: (y = {{x – 1} over {x + 1}})

b) Chứng minh rằng giao điểm (I) của hai đường tiệm cận của đường cong đã cho là tâm đối xứng của nó.

Giải 

Tập xác định:

 (eqalign{
& D = Rackslash left{ { – 1} ight} cr
& cr} )

Sự biến thiên:

(y’ = {2 over {{{(x + 1)}^2}}} > 0,forall x in D)

Hàm số đồng biến trên khoảng (( – infty ; – 1)) và (( – 1; + infty ))

Giới hạn:

(mathop {lim y}limits_{x o  – {1^ – }}  =  + infty ;,mathop {lim y}limits_{x o  – {1^ + }}  =  – infty )

Tiệm cận đứng: (x=-1)

(mathop {lim y}limits_{x o  pm infty }  = 1)

Tiệm cận ngang: (y=1) 

Bảng biến thiên:

Đồ thị giao (Ox) tại điểm ((1;0))

Đồ thị giao (Oy) tại điểm ((0;-1))

b) Giao điểm của hai tiệm cận của đường cong là (I(-1;1))

Công thức đổi trục tịnh tiến theo vecto (overrightarrow {OI} ) là 

(left{ matrix{
x = X – 1 hfill cr
y = Y + 1 hfill cr} ight.)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ (IXY) là:

(Y + 1 = {{X – 1 – 1} over {X – 1 + 1}} Leftrightarrow Y + 1 = {{X – 2} over X} Leftrightarrow Y =  – {2 over X})

Đây là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc (I) làm tâm đối xứng.