Bài 7 trang 81 SGK Hình học 12 Nâng cao

Bài 7 trang 81 SGK Hình học 12 Nâng cao

Cho hình bình hành ABCD với A(-3 ; -2 ; 0), B(3 ; -3 ; 1), C(5 ; 0 ; 2). Tìm toạ độ đỉnh D và tính góc giữa hai vectơ

Bài 7. Cho hình bình hành ABCD với A(-3 ; -2 ; 0), B(3 ; -3 ; 1), C(5 ; 0 ; 2). Tìm toạ độ đỉnh D và tính góc giữa hai vectơ (overrightarrow {AC} ) và (overrightarrow {BD} ).

Giải

Ta có (overrightarrow {BA}  = left( { - 6;1; - 1} ight);overrightarrow {BC}  = left( {2;3;1} ight)). Vì ({{ - 6} over 2} e {1 over 3} e {{ - 1} over 1}) nên (overrightarrow {BA} ) và (overrightarrow {BC} ) không cùng phương nên ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
Giả sử (Dleft( {x;y;z} ight)) thì (overrightarrow {BD}  = left( {x - 3;y + 3;z - 1} ight))
ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi:

(overrightarrow {BD} = overrightarrow {BA} + overrightarrow {BC} Leftrightarrow left{ matrix{
x - 3 = - 6 + 2 hfill cr
y + 3 = 1 + 3 hfill cr
z - 1 = - 1 + 1 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
x = - 1 hfill cr
y = 1 hfill cr
z = 1 hfill cr} ight.)

Vậy (Dleft( { - 1;1;1} ight)) . Ta có (overrightarrow {AC}  = left( {8;2;2} ight),;,overrightarrow {BD}  = left( { - 4;4;0} ight)) . Do đó:

(cos left( {overrightarrow {AC} ;overrightarrow {BD} } ight) = {{overrightarrow {AC} .overrightarrow {BD} } over {AC.BD}} = {{ - 32 + 8} over {sqrt {72} .sqrt {32} }} =  - {1 over 2} Rightarrow left( {overrightarrow {AC} ;overrightarrow {BD} } ight) = {{2pi } over 3})

soanbailop6.com