Bài 12 trang 82 SGK Hình học 12 Nâng cao

Bài 12 trang 82 SGK Hình học 12 Nâng cao

Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = h, đáy là tam giác ABC vuông tại C, AC = b, BC = a. Gọi M là trung điểm của AC và N là điểm sao cho . a) Tính độ dài đoạn thẳng MN. b) Tìm sự liên hệ giữa a, b, h để MN vuông góc với SB.

Bài 12. Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = h, đáy là tam giác ABC vuông tại C, AC = b, BC = a. Gọi M là trung điểm của AC và N  là điểm sao cho (overrightarrow {SN}  = {1 over 3}overrightarrow {SB} ).

a) Tính độ dài đoạn thẳng MN.

b) Tìm sự liên hệ giữa a, b, h để MN vuông góc với SB.

Giải

 

Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, B nằm trong góc xOy.
Ta có: (A = left( {0;0;0} ight),C = left( {b;0;0} ight),B = left( {b;a;0} ight),S = left( {0;0;h} ight)) .

(Mleft( {{b over 2};0;0} ight),overrightarrow {SB}  = left( {b;a; - h} ight))

Gọi (Nleft( {x;y;z} ight)) thì (overrightarrow {SN}  = left( {x;y;z - h} ight)).

(overrightarrow {SN} = {1 over 3}overrightarrow {SB} Leftrightarrow left{ matrix{
x = {b over 3} hfill cr
y = {a over 3} hfill cr
z - h = {{ - h} over 3} hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
x = {b over 3} hfill cr
y = {a over 3} hfill cr
z = {{2h} over 3} hfill cr} ight. Rightarrow Nleft( {{b over 3};{a over 3};{{2h} over 3}} ight))

a) 

(eqalign{
& overrightarrow {MN} = left( {{b over 3} - {b over 2};{a over 3};{{2h} over 3}} ight) = left( { - {b over 6};{a over 3};{{2h} over 3}} ight) cr
& MN = sqrt {{{{b^2}} over {36}} + {{{a^2}} over 9} + {{4{h^2}} over 9}} = {1 over 6}sqrt {{b^2} + 4{a^2} + 16{h^2}} cr} )

b) (MN ot SB Leftrightarrow overrightarrow {MN} .overrightarrow {SB}  = 0 Leftrightarrow  - {{{b^2}} over 6} + {{{a^2}} over 3} + {{ - 2{h^2}} over 3} = 0 Leftrightarrow 4{h^2} = 2{a^2} - {b^2})

soanbailop6.com