Bài 7 trang 39 SGK Hình học lớp 12
Giải bài 7 trang 39 SGK Hình học lớp 12. Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r√3. ...
Giải bài 7 trang 39 SGK Hình học lớp 12. Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r√3.
Đề bài
Một hình trụ có bán kính (r) và chiều cao (h = rsqrt3).
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính thể tích khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho.
c) Cho hai điểm (A) và (B) lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng (AB) và trục của hình trụ bằng (30^0). Tính khoảng cách giữa đường thẳng (AB) và trục của hình trụ.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) ({S_{xq}} = 2pi rh,,,{S_{tp}} = 2pi rh + pi {r^2}) với (r;h) lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường cao của hình trụ.
b) (V = pi {r^2}h).
c) +) Giả sử trục của hình trụ là (O_1O_2) và (A) nằm trên đường tròn tâm (O_1), (B) nằm trên đường tròn tâm (O_2). Kẻ (BB_1) // ({O_1}{O_2}) ( Rightarrow widehat {left( {AB;{O_1}{O_2}} ight)} = widehat {left( {AB;B{B_1}} ight)} = widehat {AB{B_1}}).
+) Xác định khoảng cách giữa AB và ({O_1}{O_2}) bằng cách xác định đường vuông góc chung giữa hai đường thẳng đó.
Lời giải chi tiết
Theo công thức ta có:
(S_{xq} = 2πrh = 2sqrt3 πr^2)
(S_{tp} = 2πrh + 2πr^2 = 2sqrt3 πr^2 + 2 πr^2 )
(= 2(sqrt3 + 1)πr^2) ( đơn vị thể tích)
b) (V)trụ = (πR^2h = sqrt3 π r^3)
c) Giả sử trục của hình trụ là (O_1O_2) và (A) nằm trên đường tròn tâm (O_1), (B) nằm trên đường tròn tâm (O_2); (I) là trung điểm của (O_1O_2) , (J) là trung điểm của (AB).
Ta chứng minh (IJ) là đường vuông góc chung của (O_1O_2) và (AB).
Hạ (BB_1) vuông góc với đáy, (J_1) là hình chiếu vuông góc của (J) xuống đáy.
Dễ thấy (J_1) là trung điểm của (AB_1) (định lí đường trung bình của tam giác).
Ta có: (left{ egin{array}{l}{O_1}{J_1} ot A{B_1}{O_1}{J_1} ot B{B_1}end{array} ight. Rightarrow {O_1}{J_1} ot left( {AB{B_1}} ight)).
Mà (IJ//{O_1}{J_1} Rightarrow IJ ot left( {AB{B_1}} ight)) ( Rightarrow IJ ot AB).
(left{ egin{array}{l}IJ//{O_1}{J_1}{O_1}{O_2} ot {O_1}{J_1}end{array} ight. Rightarrow IJ ot {O_1}{O_2}).
Vậy IJ là đường vuông góc chung của (O_1O_2) và (AB) ( Rightarrow dleft( {AB;{O_1}{O_2}} ight) = IJ)
Ta có: (BB_1) // ({O_1}{O_2}) ( Rightarrow widehat {left( {AB;{O_1}{O_2}} ight)} = widehat {left( {AB;B{B_1}} ight)} = widehat {AB{B_1}}).
do vậy: (AB_1 = BB_1.tan 30^0) = ( frac{sqrt{3}}{3}h = r).
Xét tam giác vuông (O_1J_1A) vuông tại (J_1) ta có:
( O_{1}J^{2}_{1}) = ( O_{1}A^{2}) - ( AJ^{2}_{1} =) ( r^{2} - {left( {{r over 2}} ight)^2}=) ( frac{3}{4}r^{2}) ( Rightarrow {O_1}{J_1} = frac{{rsqrt 3 }}{2})
Vậy khoảng cách giữa (AB) và (O_1O_2) là: ( frac{sqrt{3}}{2}r).
soanbailop6.com
