Bài 3 trang 39 SGK Hình học lớp 12

Giải bài 3 trang 39 SGK Hình học lớp 12. Cho hình nón tròn xoay có đường cao h = 20 cm, bán kính đáy r = 25 cm.

Đề bài

Cho hình nón tròn xoay có đường cao (h = 20 cm), bán kính đáy (r = 25 cm).

a) Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho.

b) Tính thể tích của khối nón được tạo bởi hình nón đó.

c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là (12 cm). Tính diện tích thiết diện đó.

Lời giải chi tiết

a) Giả sử (SA = l) là độ dài đường sinh, (SH = h) là chiều cao hình nón.

Trong tam giác vuông (SOA) ta có:

(eqalign{
& S{A^2} = S{O^2} + O{A^2} = {h^2} + {r^2} = {20^2} + {25^2} = 1025 cr
& Rightarrow SA = sqrt {1025} cr}) 

Diện tích xung quanh hình nón là:

({S_{xq}} = pi rl = pi .25sqrt {1025}  approx 2514,5left( {c{m^2}} ight))

b) Thể tích khối nón là:

(V = {1 over 3}pi {r^2}h = {1 over 3}pi {.25^2}.20 approx 13083,3left( {c{m^3}} ight))

c) Giả sử thiết diện (SAB) đi qua đỉnh (S) cắt đường tròn đáy tại (A) và (B). Gọi (I) là trung điểm của dây cung (AB). Từ tâm (O) của đáy vẽ (OH) vuông góc với (SI).

Ta có (left{ matrix{
AB ot OI hfill cr 
AB ot SO hfill cr} ight. Rightarrow AB ot left( {SOI} ight) Rightarrow AB ot OH)

Từ đó (left{ matrix{
OH ot AB hfill cr 
OH ot SI hfill cr} ight. Rightarrow OH ot left( {SAB} ight) Rightarrow OH = 12cm)

Trong tam giác vuông (SOI) ta có: ({1 over {O{H^2}}} = {1 over {O{I^2}}} + {1 over {O{S^2}}})

(eqalign{
& Rightarrow {1 over {O{I^2}}} = {1 over {O{H^2}}} - {1 over {O{S^2}}} cr
& = {1 over {{{12}^2}}} - {1 over {{{20}^2}}} = {{256} over {57600}} = {1 over {225}} cr
& Rightarrow OI = 15cm cr} )

Xét tam giác vuông (OAI) ta có (AI^2 = OA^2 – OI^2 = 25^2 – 15^2 = 20^2)

Vậy (AI = 20cm)(Rightarrow AB = 20.2 = 40,cm)

Ta có: (SI.OH = SO.OI Rightarrow SI = {{SO.OI} over {OH}} = {{20.15} over {12}} = 25cm)  

Vậy diện tích thiết diện (SAB) là: ({S_{SAB}} = {1 over 2}SI.AB = {1over2}25.40 = 500left( {c{m^2}} ight))

soanbailop6.com