Bài 52 trang 216 Đại số 10 Nâng cao: Chứng minh rằng với mọi ∝ mà cos k∝ ≠ 0 (k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) và sin ∝ ≠ 0 thì:...

a) Chứng minh rằng nếu ∝ và β khác ({pi  over 2} + kpi ,(k in Z)) thì:     

(left{ matrix{
an alpha + an eta = {{sin (alpha + eta )} over {cos alpha cos eta }} hfill cr
an alpha – an eta = {{sin (alpha – eta )} over {cos alpha cos eta }} hfill cr} ight.)

b) Chứng minh rằng với mọi ∝ mà cos k∝ ≠ 0 (k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) và sin ∝ ≠ 0 thì:

({1 over {cos alpha cos 2alpha }} + {1 over {cos 2alpha cos 3alpha }} + … + {1 over {cos 7alpha cos 8alpha }} )

(= {{ an 8alpha  – an alpha } over {sin alpha }})

Đáp án

a) Ta có:

(eqalign{
& an alpha + an eta = {{sin alpha } over {cos alpha }} + {{sin eta } over {cos eta }} cr&= {{sin alpha cos eta + sin eta cos alpha } over {cos alpha cos eta }} cr
& = {{sin (alpha + eta )} over {cos alpha cos eta }} cr} )

Tương tự: ( an alpha  – an eta  = {{sin (alpha  – eta )} over {cos alpha cos eta }})

b) Ta có: ({1 over {cos alpha cos 2alpha }} = {{ an 2alpha  – an alpha } over {sin (2alpha  – alpha )}} = {{ an 2alpha  – an alpha } over {sin alpha }})

Tương tự:

(eqalign{
& {1 over {cos 2alpha cos 3alpha }} = {{ an 3alpha – an 2alpha } over {sin alpha }};… cr
& {1 over {cos 7alpha cos 8alpha }} = {{ an 8alpha – an 7alpha } over {sin alpha }} cr} )

Do đó: ({1 over {cos alpha cos 2alpha }} + {1 over {cos 2alpha cos 3alpha }} + … + {1 over {cos 7alpha cos 8alpha }} )

(= {{ an 8alpha  – an alpha } over {sin alpha }})