Bài 5 trang 49 SGK Hình học lớp 12
Giải bài 5 trang 49 SGK Hình học lớp 12. Từ một điểm M nằm nằm bên ngoài mặt cầu S( O; r) ta kẻ hai đường thẳng cắt mặt cầu lần lượt tại A, B và C, D. ...
Giải bài 5 trang 49 SGK Hình học lớp 12. Từ một điểm M nằm nằm bên ngoài mặt cầu S( O; r) ta kẻ hai đường thẳng cắt mặt cầu lần lượt tại A, B và C, D.
Đề bài
Từ một điểm (M) nằm nằm bên ngoài mặt cầu (S( O; r)) ta kẻ hai đường thẳng cắt mặt cầu lần lượt tại (A, B) và (C, D).
a) Chứng minh rằng (MA.MB = MC.MD).
b) Gọi (MO = d). Tính (MA.MB) theo (r) và (d).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Sử dụng các tam giác đồng dạng để chứng minh các tỉ lệ giữa các cạnh. Từ đó suy ra tích cần chứng minh.
+) Sử dụng định lý Pi-ta-go và tỉ lệ vừa chứng minh ở câu a để tính đại lượng cần tính.
Lời giải chi tiết
a) Gọi ((P)) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng đã cho. Mặt phẳng((P)) cắt mặt cầu (S(O;r)) theo một đường tròn tâm (I), là hình chiếu vuông góc của (O) lên mặt phẳng ((P)).
Xét hai tam giác (MAD) và (MCB) có:
+) (widehat B = widehat D) (Hai góc cùng chắn một cung)
+) (widehat M) chung
( Rightarrow Delta MAD) đồng dạng với (Delta MCB.)
(Rightarrow{{MA} over {MC}} = {{MD} over {MB}}) (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).
(Rightarrow MA.MB=MC.MD , , , (dpcm))
b) Đặt (MO = d), ta có (OI) vuông góc với ((P)) và ta có:
(O{M^2} = M{I^2} = O{I^2};O{A^2} = O{I^2} + I{A^2})
Hạ (IH) vuông góc (AB), ta có (H) là trung điểm của (AB).
Ta có (MA = MH - HA); (MB = MH + HB = MH + HA).
(MA.MB = M{H^2} - H{A^2})
(eqalign{
& = (M{H^2} + H{I^2}) - (H{A^2} + I{H^2}) cr
& = M{I^2} - I{A^2} cr
& = (M{I^2} + O{I^2}) - (I{A^2} + O{I^2}) cr
& = O{M^2} - O{A^2} cr
& = {d^2} - {r^2} cr} )
Vậy (MA.MB = {d^2} - {r^2}).
soanbailop6.com
