Bài 5 trang 26 SGK Hình học lớp 12
Giải bài 5 trang 26 SGK Hình học 12. Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a. Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a. ...
Giải bài 5 trang 26 SGK Hình học 12. Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a. Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a.
Đề bài
Cho tam giác (ABC) vuông cân ở (A) và (AB = a). Trên đường thẳng qua (C) và vuông góc với mặt phẳng ((ABC)) lấy điểm (D) sao cho (CD = a). Mặt phẳng qua (C) vuông góc với (BD), cắt (BD) tại (F) và cắt (AD) tại (E). Tính thể tích khối tứ diện (CDEF) theo (a).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Dựng các điêm F và E.
+) Chứng minh tam giác CEF vuông tại E ( Rightarrow {S_{CEF}} = frac{1}{2}EF.EC)
+) ({V_{CDEF}} = frac{1}{3}DF.{S_{CEF}} = frac{1}{3}DF.frac{1}{2}EF.EC = frac{1}{6}DF.EF.EC)
+) Sử dụng định lí Pitago và các hệ thức lượng trong tam giác vuông tính CE, EF và DF.
Lời giải chi tiết
(left.egin{matrix} BA perp CD& BA perp CA& end{matrix} ight})( Rightarrow BAot (ADC)) (Rightarrow BA ot CE)
Mặt khác (BD ot (CEF) Rightarrow BD ot CE).
Từ đó suy ra
(CE ot (ABD) Rightarrow CE ⊥ EF, CE ot AD).
Vì tam giác (ACD) vuông cân, (AC= CD= a) nên (CE=frac{AD}{2}=frac{asqrt{2}}{2})
Ta có (BC = asqrt{2}), (BD = sqrt{2a^{2}+a^{2}}=asqrt{3})
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông (BCD) ta có: (CFcdot BD = DCcdot BC) nên (CF=frac{a^{2}sqrt{2}}{asqrt{3}}=asqrt{frac{2}{3}})
Từ đó suy ra
(EF= sqrt{CF^{2}-CE^{2}}=sqrt{frac{2}{3}a^{2}-frac{a^{2}}{2}}=frac{sqrt{6}}{6}a).
(DF=sqrt{DC^{2}-CF^{2}}=sqrt{a^{2}-frac{2}{3}a^{2}}=frac{sqrt{3}}{3}a).
Từ đó suy ra (S_{Delta CEF}=frac{1}{2}FEcdot EC=frac{1}{2}frac{asqrt{6}}{6}cdot frac{asqrt{2}}{2}=frac{a^{2}sqrt{3}}{12})
Vậy (V_{D.CEF}=frac{1}{3}S_{Delta CEF}cdot DF=frac{1}{3}cdot frac{a^{2}sqrt{3}}{12}cdot frac{asqrt{3}}{3}=frac{a^{3}}{36}.)
soanbailop6.com
