Bài 5.7 trang 220 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12
Chứng minh các bất đẳng thức sau: ...
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) ({e^x} + cos x ge 2 + x - {{{x^2}} over 2},forall x in R)
b) ({e^x} - {e^{ - x}} ge 2ln (x + sqrt {1 + {x^2}} ),forall x ge 0)
c) (8{sin ^2}{x over 2} + sin 2x > 2x,forall x in (0;pi { m{]}})
Hướng dẫn làm bài
a) Xét hàm số (f(x) = {e^x} + cos x - 2 - x + {{{x^2}} over 2}) , có tập xác định là R.
(f'(x) = {e^x} - sin x - 1 + x;f'(x) = 0 Leftrightarrow x = 0)
Ta lại có (f'(x) = {e^x} + 1 - cos x > 0,forall x) vì (1 - cos x ge 0) và ({e^x} > 0)
Như vậy, f’(x) đồng biến trên R. Từ đó: (f'(x) < f'(0) = 0,forall x < 0;f'(x) > f'(0) = 0,forall x > 0)
Ta có bảng biến thiên
Hàm số (f(x) = {e^x} + cos x - 2 - x + {{{x^2}} over 2} ge {f_{CT}} = f(0) = 0,forall x in R)
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
b) (forall x ge 0) xét hàm số (f(x) = {e^x} - {e^{ - x}} - 2ln (x + sqrt {1 + {x^2}} )) , ta có
(f'(x) = {e^x} + {e^{ - x}} - {2 over {sqrt {1 + {x^2}} }}) ;
Từ đó f ‘(x) > 0 với mọi x > 0 (vì ({e^x} + {e^{ - x}} > 2) và ({2 over {sqrt {1 + {x^2}} }} < 2) ) và (f ‘(x) = 0 Leftrightarrow x = 0)
Vậy f(x) đồng biến trên ({ m{[}}0; + infty )) , tức là:
(f(x) ge f(0) = {e^0} - {e^0} - 2ln 1 = 0)
Từ đó suy ra điều cần chứng minh
c) Xét hàm số (f(x) = 8{sin ^2}{x over 2} + sin 2x - 2x,forall x in (0;pi { m{]}})
(f'(x) = 4sin x + 2cos 2x - 2 = 4sin x(1 - sin x))
(f'(x) = 0 Leftrightarrow left[ {matrix{{x = {pi over 2}} cr {x = pi } cr} } ight.)
Với (x in (0;pi { m{]}}) ta có (f'(x) ge 0) và dấu bằng chỉ xảy ra tại hai điểm.
Vậy f(x) đồng biến trên nửa ((0;pi { m{]}}). Mặt khác, f(0) = 0 nên f(x) > 0.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Sachbaitap.com
