Bài 46 trang 100 SGK Đại số 10 nâng cao, Giải các hệ phương trình...
Giải các hệ phương trình. Bài 46 trang 100 SGK Đại số 10 nâng cao – Bài 5: Một số ví dụ về hệ phương trình bậc hai hai ẩn Giải các hệ phương trình a) (left{ matrix{ {x^2} + {y^2} + x + y = 8 hfill cr xy + x + y = 5 hfill cr} ight.) b) (left{ matrix{ {x^2} + {y^2} – x + y = 2 ...
Giải các hệ phương trình
a)
(left{ matrix{
{x^2} + {y^2} + x + y = 8 hfill cr
xy + x + y = 5 hfill cr}
ight.)
b)
(left{ matrix{
{x^2} + {y^2} – x + y = 2 hfill cr
xy + x – y = – 1 hfill cr}
ight.)
c)
(left{ matrix{
{x^2} – 3x = 2y hfill cr
{y^2} – 3y = 2x hfill cr}
ight.)
Giải
a) Đặt S = x + y; P = xy, ta có hệ:
(eqalign{
& left{ matrix{
S + P = 5 hfill cr
{S^2} – 2P + S = 8 hfill cr}
ight. Leftrightarrow left{ matrix{
P = 5 – S hfill cr
{S^2} – 2(5 – S) + S = 8 hfill cr}
ight. cr
& Leftrightarrow left{ matrix{
P = 5 – S hfill cr
{S^2} – 3S – 18 = 0 hfill cr}
ight. Leftrightarrow left[ matrix{
left{ matrix{
S = 3 hfill cr
P = 2 hfill cr}
ight. hfill cr
left{ matrix{
S = – 6 hfill cr
P = 11 hfill cr}
ight. hfill cr}
ight. cr} )
i) Với S = 3, P = 2 thì x, y là nghiệm của phương trình:
({x^2} – 3x + 2 = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = 1 hfill cr
x = 2 hfill cr}
ight.)
Ta có nghiệm (1, 2); (2, 1)
ii) Với S = -6, P = 11 thì hệ phương trình vô nghiệm vì:
S2 – 4P = 36 – 44 = -8 < 0
Vậy phương trình có hai nghiệm (1, 2); (2, 1)
b) Đặt x’ = -x, ta có hệ:
(left{ matrix{
x{‘^2} + {y^2} + x’ + y = 2 hfill cr
– x’y – x’ – y = – 1 hfill cr}
ight.)
Đặt S = x’ + y; P = x’y, ta có:
(eqalign{
& left{ matrix{
{S^2} – 2P + S = 2 hfill cr
S + P = 1 hfill cr}
ight. cr&Leftrightarrow left{ matrix{
{S^2} + S – 2(1 – S) = 2 hfill cr
P = 1 – S hfill cr}
ight. cr
& Leftrightarrow left{ matrix{
{S^2} + 3S – 4 = 0 hfill cr
P = 1 – S hfill cr}
ight. Leftrightarrow left[ matrix{
left{ matrix{
S = 1 hfill cr
P = 0 hfill cr}
ight. hfill cr
left{ matrix{
S = – 4 hfill cr
P = 5 hfill cr}
ight. hfill cr}
ight. cr} )
+) Nếu S =1, P = 0 thì x’, y là nghiệm phương trình:
({X^2} – X = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
X = 0 hfill cr
X = 1 hfill cr}
ight. Leftrightarrow left[ matrix{
left{ matrix{
x’ = 0 hfill cr
y = 1 hfill cr}
ight. hfill cr
left{ matrix{
x’ = 1 hfill cr
y = 0 hfill cr}
ight. hfill cr}
ight.)
Ta có nghiệm (0, 1) và (-1, 0)
+) Với S = -4, P = 5 thì hệ phương trình vô nghiệm vì S2 – 4P < 0
c) Trừ từng vế của hai phương trình ta được:
x2 – y2 – 3x + 3y = 2y – 2x
⇔ (x – y)(x + y) – (x – y) = 0
⇔ (x – y)(x + y – 1) = 0
⇔ x – y = 0 hoặc x + y – 1 = 0
Vậy hệ đã cho tương ứng với:
(left[ matrix{
left{ matrix{
{x^2} – 3x = 2y hfill cr
x – y = 0 hfill cr}
ight.,,,,,,,,,,(I) hfill cr
left{ matrix{
{x^2} – 3x = 2y hfill cr
x + y – 1 = 0 hfill cr}
ight.,,,,,,,,,,(II) hfill cr}
ight.)
Ta có:
((I), Leftrightarrow left{ matrix{
{x^2} – 3x = 2y hfill cr
x – y = 0 hfill cr}
ight. )
(Leftrightarrow left{ matrix{
x(x – 5) = 0 hfill cr
x = y hfill cr}
ight. Leftrightarrow left[ matrix{
x = y = 0 hfill cr
x = y = 5 hfill cr}
ight.)
((II) Leftrightarrow left{ matrix{
{x^2} – 3x = 2(1 – x) hfill cr
y = 1 – x hfill cr}
ight. Leftrightarrow left{ matrix{
{x^2} – x – 2 = 0 hfill cr
y = 1 – x hfill cr}
ight.)
(Leftrightarrow left[ matrix{
left{ matrix{
x = – 1 hfill cr
y = 2 hfill cr}
ight. hfill cr
left{ matrix{
x = 2 hfill cr
y = – 1 hfill cr}
ight. hfill cr}
ight.)
Vậy hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm là : ((0, 0); (5, 5); (-1, 2); (2, -1))
