Bài 42 trang 128 SGK Toán 9 tập 1

Bài 42 trang 128 SGK Toán 9 tập 1

Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài. B ∈ (O), C ∈ (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M.

Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài. B ∈ (O), C ∈ (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh rằng

a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.

b) ME.MO = MF.MO’

c) OO’ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là BC.

d) BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là OO’.

Hướng dẫn làm bài:

a) (MA, MB) là các tiếp tuyến của đường tròn (O) (gt).

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có (MA = MB), MO là tia phân giác (widehat {AMB})

(∆MAB) cân tại (M (MA = MB))

Có MO là đường phân giác nên đồng thời là đường cao

(Rightarrow MO ot AB Rightarrow widehat {ME{ m{A}}} = {90^0})

Chứng minh tương tự có MO’ là tia phân giác góc (widehat {AMC}) và (widehat {MFA} = 90^0)

(MO, MO’) là tia phân giác của hai góc kẻ bù (widehat {AMB},widehat {AMC} Rightarrow widehat {EMF} = {90^0}) 

Tứ giác AEMF là hình chữ nhật (vì (widehat {EMF} = widehat {MEA} = widehat {MFA} = {90^0})  

b) (∆MAO) vuông tại A có AE là đường cao nên (ME. MO = MA^2)

Tương tự, ta có: (MF. MO’ = MA^2)

Do đó, (ME. MO = MF. MO’ (= MA^2))

c) Ta có (MA = MB = MC) nên M là tâm đường tròn đường kính BC có bán kính là MA. Mà (OO’ ⊥ MA) tại A.

Do đó OO’ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC

d) Gọi K là trung điểm OO’, ta có K là tâm đường tròn có đướng kính là OO’, bán kính KM ((∆MOO’) vuông tại M)

Ta có (OB ⊥ BC, O’C ⊥ BC ⇒ OB // OC.)

Tứ giác OBCO’ là hình thang có K, M lần lượt là trung điểm các cạnh cạnh bên OO’, BC.

Do đó KM là đường trung bình của hình thang OBCO’ (⇒ KM // OB)

Mà (OB ⊥ BC) nên (KM ⊥ BC)

Ta có (BC ⊥ KM) tại M nên BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO’

soanbailop6.com