Bài 41 trang 44 SGK giải tích 12 nâng cao, a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: b) Tùy theo các giá trị của m, hãy biện luận...

Bài 41.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: (y =  – {x^3} + 3{x^2} – 1).

b) Tùy theo các giá trị của (m), hãy biện luận số nghiệm của phương trình: ( – {x^3} + 3{x^2} – 1 = m)

Giải

a) TXĐ: (D =mathbb R)

(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x o + infty } y = – infty ;,mathop {lim }limits_{x o – infty } y = + infty cr
& y’ = – 3{x^2} + 6x = – 3xleft( {x – 2} ight);,,y’ = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = 0;,yleft( 0 ight) = – 1 hfill cr
x = 2;,yleft( 2 ight) = 3 hfill cr} ight. cr} )

Bảng biến thiên:

Hàm đồng biến trên khoảng ((0;2)), nghịch biến trên mỗi khoảng (left( { – infty ;0} ight)) và (left( {2; + infty } ight)).

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm (x = 0), giá trị cực tiểu (y(0) = -1). Hàm số đạt cực đại tại điểm (x = 2), giá trị cực đại (y(2) = 3).

Đồ thị: (y” =  – 6x + 6;,,y” = 0 Leftrightarrow x = 1;,yleft( 1 ight) = 1)

Xét dấu y”:

(I(1;1)) là điểm uốn của đồ thị

Điểm đặc biệt:

(x = 0 Rightarrow y =  – 1)

(x =  – 1 Rightarrow y = 3)

b) Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị ((C)) hàm số (y =  – {x^3} + 3{x^2} – 1) với đường thẳng (y = m) cùng phương với trục (Ox).

Dựa vào đồ thị ta có kết quả sau:

– Nếu (m < -1) hoặc (m > 3) thì phương trình có (1) nghiệm;

– Nếu (m = -1) hoặc (m = 3) thì phương trình có (2) nghiệm;

– Nếu (-1 < m < 3) thì phương trình có (3) nghiệm.