Bài 45 trang 44 SGK giải tích 12 nâng cao , a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: b) Tùy theo các giá trị của m, hãy biện...

Bài 45

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: (y = {x^3} – 3{x^2} + 1).

b) Tùy theo các giá trị của (m), hãy biện luận số nghiệm của phương trình: ({x^3} – 3{x^2} + m + 2 = 0)

Giải

a) TXĐ: (D =mathbb R)

(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x o + infty } y = + infty ;,mathop {lim }limits_{x o – infty } y = – infty cr
& y’ = 3{x^2} – 6x = 3xleft( {x – 2} ight);,,y’ = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = 0;,,,,yleft( 0 ight) = 1 hfill cr
x = 2;,,,,yleft( 2 ight) = – 3 hfill cr} ight. cr} )

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (left( { – infty ;0} ight)) và (left( {2; + infty } ight)); nghịch biến trên khoảng ((0;2)).

Hàm số đạt cực đại tại điểm (x = 0), giá trị cực đại (y(0) = 1); hàm số đat cực tiểu tại điểm (x = 2), giá trị cực tiểu (y(2) = -3).

(y” = 6x – 6;,y” = 0 Leftrightarrow x = 1;,yleft( 1 ight) =  – 1)

Xét dấu (y”)

Điểm uốn của đồ thị (I(1;-1))    

Điểm đặc biệt (x =  – 1 Rightarrow y =  – 3)

Đồ thị: đồ thị nhận điểm (I(1;-1)) làm tâm đối xứng.

b) Ta có: ({x^3} – 3{x^2} + m + 2 = 0 Leftrightarrow {x^3} – 3{x^2} + 1 =  – m – 1)

Số nghiệm của phương trình trên bằng số giao điểm của đồ thị hàm số (y = {x^3} – 3{x^2} + 1) và 

đường thẳng (y = – m -1). Dựa vào đồ thị ta có:

– Nếu ( – m – 1<-3Rightarrow m>2) thì phương trình có (1) nghiệm.

– Nếu (-m-1=-3Rightarrow m=2) thì phương trình có (2) nghiệm.

– Nếu (-3< -m-1<1Rightarrow -2<m<2) thì phương trình có (3) nghiệm.

– Nếu (-m-1=1Rightarrow m=-2) thì phương trình có (2) nghiệm

– Nếu (-m-1>1Rightarrow m<-2) thì phương trình có (1) nghiệm.