Bài 47 trang 45 SGK giải tích 12 nâng cao, Cho hàm số: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 2. b) Chứng minh rằng đồ...

Bài 47. Cho hàm số: (y = {x^4} – left( {m + 1} ight){x^2} + m)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với (m = 2).
b) Chứng minh rằng đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định với mọi giá trị của (m).

Giải

a) Với (m = 2) ta có: (y = {x^4} – 3{x^2} + 2)
TXĐ: (D =mathbb R)

(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x o pm infty } y = + infty cr
& y’ = 4{x^3} – 6x;,y’ = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = 0 hfill cr
x = pm sqrt {{3 over 2}} hfill cr} ight.;,,yleft( 0 ight) = 2;,yleft( { pm sqrt {{3 over 2}} } ight) = – {1 over 4} cr} )

Bảng biến thiên:

(y” = 12{x^2} – 6;,y” = 0 Leftrightarrow x =  pm sqrt {{1 over 2}} ;,yleft( { pm sqrt {{1 over 2}} } ight) = {3 over 4})

Đồ thị có hai điểm uốn : ({I_1}left( { – sqrt {{1 over 2}} ;{3 over 4}} ight)) và ({I_2}left( {sqrt {{1 over 2}} ;{3 over 4}} ight))

Điểm đặc biệt 

(y = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
{x^2} = 1 hfill cr
{x^2} = 2 hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
x = pm 1 hfill cr
x = pm sqrt 2 hfill cr} ight.)

Đồ thị: Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.

b) Đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm (left( {{x_o};{y_o}} ight)) khi và chỉ khi 

({y_o} = x_o^4 – left( {m + 1} ight)x_o^2 + m Leftrightarrow left( {1 – x_o^2} ight)m + x_o^4 – x_o^2 – {y_o} = 0,,left( 1 ight))

Đồ thị đi qua điểm (left( {{x_o};{y_o}} ight)) với moi giá trị của (m) khi và chỉ khi phương trình ((1)) nghiệm đúng với mọi (m), tức là:

(left{ matrix{
1 – x_o^2 = 0 hfill cr
x_o^4 – x_o^2 – {y_o} = 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
{x_o} = 1 hfill cr
{y_o} = 0 hfill cr} ight.,,,, ext{ hoặc },,,,left{ matrix{
{x_o} = – 1 hfill cr
{y_o} = 0 hfill cr} ight.)

Vậy với mọi giá trị của m, đồ thị của hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định ((-1;0)) và ((1;0)).