Bài 43 trang 44 SGK giải tích 12 nâng cao , a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: b) Tùy theo các giá trị của m, hãy biện...

Bài 43

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: (y =  – {x^4} + 2{x^2} – 2)
b) Tùy theo các giá trị của m, hãy biện luận số nghiệm của phương trình ( – {x^4} + 2{x^2} – 2 = m).
c) Viết phương trình tiếp tuyến tại các điểm uốn của đồ thị ở câu a)

Gỉải

a) TXĐ: (D =mathbb R)

(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x o pm infty } y = – infty cr
& y’ = – 4{x^3} + 4x = – 4xleft( {{x^2} – 1} ight);,y’ = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = 0,,,,,,,yleft( 0 ight) = – 2 hfill cr
x = pm 1,,,,,yleft( { pm 1} ight) = – 1 hfill cr} ight. cr} )

Bảng biến thiên:

Hàm đồng biến trên các khoảng (left( { – infty ; – 1} ight)) và (left( {0;1} ight));
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ((-1;0)) và (left( {1; + infty } ight))
Hàm số đạt cực đại tại các điểm (x = -1 ; x = 1);
Giá trị cực đại (yleft( { pm 1} ight) =  – 1). Hàm số đạt cực tiểu tại điểm (x = 0), giá trị cực tiểu (y(0) = -2).

(eqalign{
& y” = – 12{x^2} + 4 = – 4left( {3{x^2} – 1} ight) cr
& y” = 0 Leftrightarrow x = pm {1 over {sqrt 3 }};,,yleft( { pm {1 over {sqrt 3 }}} ight) = {{ – 13} over 9} cr} )

Xét dấu y”
   
Đồ thị có hai điểm uốn ({I_1}left( { – {1 over {sqrt 3 }}; – {{13} over 9}} ight)) và ({I_2}left( {{1 over {sqrt 3 }}; – {{13} over 9}} ight))
Điểm đặc biệt (x = 2 Rightarrow y =  – 10)
Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.

b) Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị (C) hàm số (y =  – {x^4} + 2{x^2} – 2) với đường thẳng (y = m).
Dựa vào đồ thị ta có kết quả sau:
– Nếu (m < -2) thì phương trình có (2) nghiệm;
– Nếu (m = -2) thì phương trình có (3) nghiệm;
– Nếu (-2 < m < -1) thì phương trình có (4) nghiệm;
– Nếu (m = -1) thì phương trình có (2) nghiệm;
– Nếu (m> -1) thì phương trình vô nghiệm.
c) Đồ thị có hai điểm uốn ({I_1}left( { – {1 over {sqrt 3 }}; – {{13} over 9}} ight)) và ({I_2}left( {{1 over {sqrt 3 }}; – {{13} over 9}} ight))
phương trình tiếp tuyến của đồ thị ({I_1}) là:

(eqalign{
& y + {{13} over 9} = y’left( { – {1 over {sqrt 3 }}} ight)left( {x + {1 over {sqrt 3 }}} ight) Leftrightarrow y + {{13} over 9} = {{ – 8} over {3sqrt 3 }}left( {x + {1 over {sqrt 3 }}} ight) cr
& Leftrightarrow y = {{ – 8} over {3sqrt 3 }}x – {7 over 3} cr} )

Tương tự tiếp tuyến của đồ thị ({I_2}) là : (y = {8 over {3sqrt 3 }}x – {7 over 3})