Bài 4 trang 99 SGK Hình học 12

Bài 4 trang 99 SGK Hình học 12

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1 ; 2 ;-1), B(7 ; -2 ; 3)

Bài 4. Trong không gian (Oxyz), cho hai điểm (A(1 ; 2 ;-1), B(7 ; -2 ; 3)) và đường thẳng (d) có phương trình: 

(left{ matrix{
x = - 1 + 3t hfill cr
y = 2 - 2t hfill cr
z = 2 + 2t. hfill cr} ight.)

a) Chứng minh rằng hai đường thẳng (d) và (AB) cùng nằm trong một mặt phẳng.

b) Tìm điểm (I) trên (d) sao cho (AI + BI) nhỏ nhất.

Giải

a) Đường thẳng (AB) có vectơ chỉ phương (overrightarrow {AB} =(6; -4; 4))

Đường thẳng ((d)) có vectơ chỉ phương (overrightarrow a  = (3; -2; 2))

Xét vectơ

(overrightarrow n = left( {left| matrix{
- 4 hfill cr 
- 2 hfill cr} ight.} ight.)(left. matrix{
4 hfill cr
2 hfill cr} ight|;left| matrix{
4 hfill cr
2 hfill cr} ight.)(left. matrix{
6 hfill cr 
3 hfill cr} ight|;left| matrix{
6 hfill cr 
3 hfill cr} ight.)(left. {left. matrix{
- 4 hfill cr 
- 2 hfill cr} ight|} ight)) = (( 0; 0; 0)) ( Rightarrow overrightarrow n  = overrightarrow 0 )

( Rightarrow ) Hai đường thẳng ((d)) và (AB) cùng thuộc một mặt phẳng. Ta lại có:

(overrightarrow {AB}  = 2overrightarrow a )  và  (A ∉ (d))

(overrightarrow {AB} ) và (overrightarrow a ) cùng phương ( Rightarrow  AB) và ((d)) song song với nhau.

b) Gọi (A') là điểm đối xứng của điểm (A) qua phép đối xứng qua đường thẳng (d) thì điểm (I) cần tìm là giao điểm của đường thẳng (A'B) và đường thẳng (d).

Trong câu a) ta chứng minh được (AB // d), từ đó suy ra (I) chính là giao điểm của đường thẳng (d) với mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng (AB).

Gọi (M) là trung điểm của (AB) thì (M(4; 0; 1)).

Phương trình mặt phẳng trung trực của (AB):

(3(x - 4) - 2(y - 0) + 2(z - 1) = 0) ( Rightarrow  3x - 2y + 2z - 14 = 0)

Phương trình tham số của ((d)):(left{ matrix{
x = - 1 + 3t hfill cr 
y = 2 - 2t hfill cr 
z = 2 + 2t hfill cr} ight.)

Giá trị tham số ứng với giao điểm (I )của ((d)) và mặt phẳng trung trực của (AB) là nghiệm của phương trình:

(3( -1 + 3t) - 2(2 - 2t) + 2(2 + 2t) - 14 = 0) ( Rightarrow  t = 1)

Từ đây ta được (I (2; 0; 4))

soanbailop6.com