Bài 4 trang 127 SBT Đại số và giải tích 11: a) Viết năm số hạng đầu của dãy số...
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số ;. Bài 4 trang 127 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11 – Ôn tập Chương III – Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân Cho dãy số (left( {{u_n}} ight) ) : ({ m{ }}left{ matrix{ {u_1} = 1,{u_2} = 2 hfill cr {u_{n + 1}} = 2{u_n} – {u_{n – 1}} + 1{ m,,{ ...
Cho dãy số (left( {{u_n}} ight) ) :
({
m{ }}left{ matrix{
{u_1} = 1,{u_2} = 2 hfill cr
{u_{n + 1}} = 2{u_n} – {u_{n – 1}} + 1{
m,,{ với,, n}} ge {
m{2}} hfill cr}
ight.)
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số ;
b) Lập dãy số (left( {{v_n}} ight) ) với ({v_n} = {u_{n + 1}} – {u_n}). Chứng minh dãy số (left( {{v_n}} ight) ) là cấp số cộng ;
c) Tìm công thức tính (left( {{u_n}} ight) ) theo n.
Giải:
a) Năm số hạng đầu là 1, 2, 4, 7, 11
b) Từ công thức xác định dãy số ta có
({u_{n + 1}} = 2{u_n} – {u_{n – 1}} + 1) hay ({u_{n + 1}} – {u_n} = {u_n} – {u_{n – 1}} + 1) (1)
Vì ({v_n} = {u_{n + 1}} – {u_n}) nên từ (1), ta có
({v_n} = {v_{n – 1}} + 1) với (n ge 2) (2)
Vậy (left( {{v_n}} ight) ) là cấp số cộng với ({v_1} = {u_2} – {u_1} = 1) công sai d = 1
c) Để tính (left( {{u_n}} ight) ) ta viết
(eqalign{
& {v_1} = 1 cr
& {v_2} = {u_3} – {u_2} cr
& {v_3} = {u_4} – {u_3} cr
& … cr
& {v_{n – 2}} = {u_{n – 1}} – {u_{n – 2}} cr
& {v_{n – 1}} = {u_n} – {u_{n – 1}} cr})
Cộng từng vế n – 1 hệ thức trên và rút gọn, ta được
({v_1} + {v_2} + … + {v_{n – 1}} = 1 – {u_2} + {u_n} = 1 – 2 + {u_n} = {u_{n – 1}}) suy ra
({u_n} = 1 + {v_1} + {v_2} + … + {v_{n – 1}} = 1 + {{nleft( {n – 1} ight)} over 2})