Bài 3 trang 127 Sách bài tập Đại số và giải tích 11: Chứng minh các bất đẳng thức sau...

Chứng minh các bất đẳng thức sau

a) ({3^{n – 1}} > nleft( {n + 2} ight)) với (n ge 4) ;

b) ({2^{n – 3}} > 3n – 1) với (n ge 8)

Giải:

a) Với n = 4 thì ({3^{4 – 1}} = 27 > 4left( {4 + 2} ight) = 24)

Giả sử đã có

({3^{k – 1}} > kleft( {k + 2} ight)) với (k ge 4)    (1)

Nhân hai vế của (1) với 3, ta có

(eqalign{
& {3.3^{k – 1}} = {3^{left( {k + 1} ight) – 1}} > 3kleft( {k + 2} ight) cr
& { m{ = }}left( {k + 1} ight)left[ {left( {k + 1} ight) + 2} ight] + 2{k^2} + 2k – 3 cr} )                      

Do (2{k^2} + 2k – 3 > 0) nên ({3^{left( {k + 1} ight) – 1}} > left( {k + 1} ight)left[ {left( {k + 1} ight) + 2} ight]) chứng tỏ bất đẳng thức đúng với n = k + 1

b)      Giải tương tự câu a).