Bài 1.4 trang 153 SBT Đại số và giải tích 11: Cho hai dãy số (un) và (vn)....

a)     Cho hai dãy số (u_n) và (v_n). Biết (lim {u_n} =  – infty ) và ({v_n} le {u_n}) với mọi n. Có kết luận gì về giới hạn của dãy  (v_n) khi (n o  + infty ) ?

b)     Tìm v_n với ({v_n} =  – n!)

Giải :

a)     Vì (lim {u_n} =  – infty ) nên (lim left( { – {u_n}} ight) =  + infty ). Do đó, (left( { – {u_n}} ight)) có thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.    (1)

Mặt khác, vì ({v_n} le {u_n}) với mọi n nên (left( { – {v_n}} ight) ge left( { – {u_n}} ight)) với mọi n.    (2)

Từ (1) và (2) suy ra (left( { – {v_n}} ight)) có thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Do đó, (lim left( { – {v_n}} ight) =  + infty ) hay (lim {v_n} =  – infty )

b)     Xét dãy số (left( {{u_n}} ight) =  – n)

Ta có – n! <  – n hay ({v_n} < {u_n}) với mọi n. Mặt khác, (lim {u_n} = lim left( { – n} ight) =  – infty )

Từ kết quả câu a) suy ra (lim {v_n} = lim left( { – n!} ight) =  – infty )