Bài 4.1: Phương pháp tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P)

Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng là tìm các điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng 

– Ta tìm giao điểm của a với một đường thẳng b nào đó nằm trong (P).
– Khi không thấy đường thẳng b, ta thực hiện theo các bước sau:

1. Tìm một mp (Q) chứa a.
2. Tìm giao tuyến b của (P) và (Q).
3. Gọi: A = a ∩ b thì: A = a ∩ (P).

Chú ý: Hai đường thẳng cắt nhau thuộc 1 mặt phẳng.

Bài tập minh họa

Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh AB, AD với AI = 1/2 IB và AJ = 3/2 JD. Tìm giao điểm của đường thẳng IJ với mặt phẳng (BCD).

Bài giải

Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J và K lần lượt là các điểm trên các cạnh AB, BC và CD sao cho AI= 1/3 AB ; BJ = 2/3 BC ; CK = 4/5 CD. Tìm giao điểm của mặt phẳng (IJK) với đường thẳng AD.

Bài giải

Bài 3:  Cho tứ diện ABCD có M, N lần lượt là trung điểm AC, BC. Điểm K ∈ BD : KD < KB.

Tìm giao điểm của: CD và (MNK), AD và ( MNK)

Bài giải

Bài tập áp dụng

Bài 1:  Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB và Ac lần lượt lấy các điểm M, N sao cho MN không song song với BC. Gọi O là một điểm nằm trong tam giác BCD.

1. Tìm giao điểm của MN và (BCD)
2. Tìm giao tuyến của (OMN) và (BCD)
3. Mặt phẳng (OMN) cắt các đường thẳng BD và CD tại H và K. Xác định các điểm H và K

Bài 2:  Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P là các điểm lần lượt trên các cạnh AC, BC, BD.

1. Tìm giao điểm của CP và (MND).
2. Tìm giao điểm của AP và (MND).

Bài 3:  Cho 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên BD lấy điểm P sao cho BP=2PD

1. Tìm giao điểm của các đường thẳng CD với mặt phẳng(MNP)
2. Tìm giao điểm của hai mặt phẳng (MNP) và (ACD).

Bài 4:  Cho tứ diện ABCD. Hai điểm M, N lần lượt nằm trong tam giác ABC và tam giác ABD. I là điểm tuỳ ý trên CD. Tìm giao của (AB;I) và đường thẳng MN

Bài 5:  Cho tứ diện ABCD  .Gọi M,N là hai điểm trên AC và AD . O là điểm bên trong tamgiác BCD.

Tìm giao điểm của :

1. MN và (ABO )
2. AO và (BMN )

Bài 6:  Cho tứ diện ABCD  . Trên AC và AD lấy hai điểm  M,N  sao cho MN không song song với CD.Gọi  O là điểm bên trong tam giác BCD.

1. Tìm giao tuyến của (OMN ) và (BCD )
2. Tìm giao điểm của BC với (OMN)
3. Tìm giao điểm của BD với (OMN)

Bài 7:  Cho tứ diện SABC  .Gọi D là điểm trên SA , E là điểm trên SB  và F là điểm trên AC ( DE và AB không song song )

1. Xđ giao tuyến của hai mp (DEF) và ( ABC )
2. Tìm giao điểm của BC với mặt phẳng ( DEF )
3. Tìm giao điểm của SC với mặt phẳng ( DEF )

Bài 8:  Cho bốn điểm A, B , C, S không cùng ở trong một mặt phẳng . Gọi I, H lần lượt là trung điểm của  SA, AB .Trên SC lấy điểm K sao cho : CK = 3KS. Tìm giao điểm của đường thẳng BC với mặt phẳng  ( IHK )

Bài 9:  Cho tứ diện ABCD có M, N lần lượt là trung điểm AB, BC; P ∈ BD : PB = 2PD. Tìm giao điểm của: AC và (MNP), BD và (MNP)

Bài 10:  Cho tứ diện ABCD có M ∈ AC, N ∈ AD và P nằm bên trong  tam giác BCD. Tìm giao điểm: 

1. CD và ( ABP)
2. MN và ( ABP)
3. AP và (BM N)