Cấp số nhân

 là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạn thứ 2, mỗi số hạn đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với số không đổi q. Số q gọi là  của .

Nếu (u_n) là cấp số nhân với  q, ta có u_n+1 = u_n.q, với mọi số nguyên dương n.

Số hạng tổng quát: u_n = u_1.q^n–1 với n ≥ 2

Tính chất các số hạng của cấp số nhân: (u_k)² = u_k–1.u_k+1 với k ≥ 2

Tổng n số hạng đầu của :

Chú ý: Nếu công bội q = 1 thì S_n = n.u₁.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm các số hạng của  có năm số hạng, biết:

a) u₃ = 3 và u₅ = 27;                    b) u₄ – u₂ = 25 và u₃ – u₁ = 50 

Bài giải

a) Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát, ta có:

              u₃ = 3 = u₁.q² và u₅ = 27 = u₁.q⁴. 

Vì 27 = (u₁q²).q² = 3.q² nên q² = 9 hay q = ±3.

Thay q² = 9 vào công thức chứa u₃, ta có u₁ = 1/3.

– Nếu  q = 3, ta có : 1/3, 1, 3, 9, 27.

– Nếu  q = -3, ta có : 1/3, -1, 3, -9, 27.

b) Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát từ giả thiết, ta có:

Từ hệ trên ta được: 50.q = 25  => q = 1/2.

Và u₁ =  .

Ta có  .