Bài 37 trang 36 SGK giải tích 12 nâng cao

Bài 37 trang 36 SGK giải tích 12 nâng cao

Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau:

Bài 37. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau:

a) (y = x + sqrt {{x^2} - 1} )       b) (y = sqrt {{x^2} - 4x + 3} )
c) (y = sqrt {{x^2} + 4} )              d) (y = {{{x^2} + x + 1} over {{x^2} - 1}})

Gỉải

a) TXĐ: (D = left( { - infty ; - 1} ight] cup left[ {1; + infty } ight))
* (a = mathop {lim }limits_{x o  + infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x o  + infty } left( {1 + {{sqrt {{x^2} - 1} } over x}} ight) = mathop {lim }limits_{x o  + infty } left( {1 + sqrt {1 - {1 over {{x^2}}}} } ight) = 2)
(b = mathop {lim }limits_{x o  + infty } left( {y - 2x} ight) = mathop {lim }limits_{x o  + infty } left( {sqrt {{x^2} - 1}  - x} ight) = mathop {lim }limits_{x o  + infty } {{ - 1} over {sqrt {{x^2} - 1}  + x}} = 0)
Ta có tiệm cận xiên (y = 2x) (khi (x o  + infty ))
* (mathop {lim }limits_{x o  - infty } y = mathop {lim }limits_{x o  - infty } left( {x + sqrt {{x^2} - 1} } ight) = mathop {lim }limits_{x o  - infty } {{ - 1} over {sqrt {{x^2} - 1}  - x}} = 0)
Ta có tiệm cận ngang (y = 0) (khi (x o  - infty ))
b) TXĐ: (D = left( { - infty ;1} ight] cup left[ {3; + infty } ight))
* (a = mathop {lim }limits_{x o  + infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x o  + infty } {{sqrt {{x^2} - 4x + 3} } over x} = mathop {lim }limits_{x o  + infty } sqrt {1 - {4 over x} + {3 over {{x^2}}}}  = 1)
(b = mathop {lim }limits_{x o  + infty } left( {y - x} ight) = mathop {lim }limits_{x o  + infty } left( {sqrt {{x^2} - 4x + 3}  - x} ight) = mathop {lim }limits_{x o  + infty } {{ - 4x + 3} over {sqrt {{x^2} - 4x + 3}  + x}} = mathop {lim }limits_{x o  + infty } {{ - 4 + {3 over x}} over {sqrt {1 - {4 over x} + {3 over {{x^2}}}}  + 1}} =  - 2)
Ta có tiệm cận xiên (y = x -2) (khi (x o  + infty )).
* (a = mathop {lim }limits_{x o  - infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x o  - infty } {{sqrt {{x^2} - 4x + 3} } over x} = mathop {lim }limits_{x o  - infty } {{ - xsqrt {1 - {4 over x} + {3 over {{x^2}}}} } over x} =  - mathop {lim }limits_{x o  - infty } sqrt {1 - {4 over x} + {3 over {{x^2}}}}  =  - 1)

(eqalign{
& b = mathop {lim }limits_{x o - infty } left( {y + x} ight) = mathop {lim }limits_{x o - infty } left( {sqrt {{x^2} - 4x + 3} + x} ight) = mathop {lim }limits_{x o - infty } {{ - 4x + 3} over {sqrt {{x^2} - 4x + 3} - x}} = mathop {lim }limits_{x o - infty } {{ - 4x + 3} over { - xsqrt {1 - {4 over x} + {3 over {{x^2}}}} - x}} cr
& ,, = ,,,mathop {lim }limits_{x o - infty } {{ - 4 + {3 over x}} over { - sqrt {1 - {4 over x} + {3 over {{x^2}}}} - 1}} = {{ - 4} over { - 2}} = 2 cr} )

Tiệm cận xiên: (y = -x + 2) (khi (x o  - infty )).
c) TXD: (D =mathbb R)
* (a = mathop {lim }limits_{x o  + infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x o  + infty } sqrt {1 + {4 over {{x^2}}}}  = 1)
(b = mathop {lim }limits_{x o  + infty } left( {y - x} ight) = mathop {lim }limits_{x o  + infty } left( {sqrt {{x^2} + 4}  - x} ight) = mathop {lim }limits_{x o  + infty } {4 over {sqrt {{x^2} + 4}  + x}} = 0)
Tiệm cận xiên (y = x) (khi (x o  + infty ))
* (a = mathop {lim }limits_{x o  - infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x o  - infty }- sqrt {1 + {4 over {{x^2}}}}  =  - 1)
(b = mathop {lim }limits_{x o  - infty } left( {y + x} ight) = mathop {lim }limits_{x o  - infty } left( {sqrt {{x^2} + 4}  + x} ight) = mathop {lim }limits_{x o  - infty } {4 over {sqrt {{x^2} + 4}  - x}} = 0)
Tiệm cận xiên (y = -x) (khi (x o  - infty ))
d) TXĐ: (D =mathbb Rackslash left{ { - 1;1} ight})
* Vì (mathop {lim }limits_{x o  + infty } y = mathop {lim }limits_{x o  + infty } {{1 + {1 over x} + {1 over {{x^2}}}} over {1 - {1 over {{x^2}}}}} = 1)
Tiệm cận ngang: (y = 1) (khi (x o  - infty ) và (x o  + infty ))
* (mathop {lim }limits_{x o {1^ + }} y = mathop {lim }limits_{x o {1^ + }} {{{x^2} + x + 1} over {left( {x - 1} ight)left( {x + 1} ight)}} =  + infty ) và (mathop {lim }limits_{x o {1^ - }} y = mathop {lim }limits_{x o {1^ - }} {{{x^2} + x + 1} over {left( {x - 1} ight)left( {x + 1} ight)}} =  - infty ) nên (x = 1) là tiệm cận đứng.
Tương tự: (mathop {lim }limits_{x o {{left( { - 1} ight)}^ + }} y =  - infty ) và (mathop {lim }limits_{x o {{left( { - 1} ight)}^ - }} y =  + infty ) nên (x = -1) là tiệm cận đứng.

soanbailop6.com