Bài 36 trang 35 SGK giải tích 12 nâng cao

Bài 36 trang 35 SGK giải tích 12 nâng cao

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

Bài 36. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

(a),,y = sqrt {{x^2} - 1} ,,);        b) (y = 2x + sqrt {{x^2} - 1} )
c) (y = x + sqrt {{x^2} + 1} ) d) (y = sqrt {{x^2} + x + 1} ).

Gỉải

a) TXĐ: (D =mathbb Rackslash ( - infty ;1{ m{]}} cup { m{[}}1; + infty ))
* Tiệm cận xiên khi (x o  + infty )
Ta có: (a = mathop {lim }limits_{x o  + infty } {{sqrt {{x^2} - 1} } over x} = mathop {lim }limits_{x o  + infty } {{xsqrt {1 - {1 over {{x^2}}}} } over x} = mathop {lim }limits_{x o  + infty } sqrt {1 - {1 over {{x^2}}}}  = 1)
(b = mathop {lim }limits_{x o  + infty } left( {sqrt {{x^2} - 1}  - x} ight) = mathop {lim }limits_{x o  + infty } {{ - 1} over {sqrt {{x^2} - 1}  + x}} = 0)
Vậy đường thẳng (y = x) là tiệm cận xiên của đồ thị khi (x o  + infty ).
* Tiệm cận xiên khi (x o  - infty )
(a = mathop {lim }limits_{x o  - infty } {{sqrt {{x^2} - 1} } over x} = mathop {lim }limits_{x o  - infty } {{ - xsqrt {1 - {1 over {{x^2}}}} } over x} =  - mathop {lim }limits_{x o  - infty } sqrt {1 - {1 over {{x^2}}}}  =  - 1)
(b = mathop {lim }limits_{x o  - infty } left( {sqrt {{x^2} - 1}  - x} ight) = mathop {lim }limits_{x o  - infty } {{ - 1} over {sqrt {{x^2} - 1}  + x}} = 0)
Vậy đường thẳng (y = -x) là tiệm cận xiên của đồ thị (khi (x o  - infty )).
b) TXĐ: (D =mathbb Rackslash ( - infty ;1{ m{]}} cup { m{[}}1; + infty ))
* Tiệm cận xiên khi (x o  + infty )
Ta có: (a = mathop {lim }limits_{x o  + infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x o  + infty } left( {2 + {{sqrt {{x^2} + 1} } over x}} ight) = mathop {lim }limits_{x o  + infty } left( {2 + sqrt {1 - {1 over {{x^2}}}} } ight) = 3)
(b = mathop {lim }limits_{x o  + infty } left( {y - 3x} ight) = mathop {lim }limits_{x o  + infty } left( {sqrt {{x^2} - 1}  - x} ight) = mathop {lim }limits_{x o  + infty } {{ - 1} over {sqrt {{x^2} - 1}  + x}} = 0)
Vậy đường thẳng (y = 3x) là tiệm cận xiên của đồ thị (khi (x o  + infty )).
* Tiệm cận xiên khi (x o  - infty )
(a = mathop {lim }limits_{x o  - infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x o  - infty } left( {2 + {{sqrt {{x^2} + 1} } over x}} ight) = mathop {lim }limits_{x o  - infty } left( {2 - sqrt {1 - {1 over {{x^2}}}} } ight) = 1)
(b = mathop {lim }limits_{x o  - infty } left( {y - x} ight) = mathop {lim }limits_{x o  - infty } left( {sqrt {{x^2} - 1}  + x} ight) = mathop {lim }limits_{x o  - infty } {{ - 1} over {sqrt {{x^2} - 1}  - x}} = 0)
Vậy đường thẳng (y = x) là tiệm cận xiên của đồ thị (khi (x o  - infty ))
c) TXĐ: (D =mathbb R)
* Tiệm cận xiên khi (x o  + infty )

(eqalign{
& a = mathop {lim }limits_{x o + infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x o + infty } left( {1 + {{sqrt {{x^2} + 1} } over x}} ight) = mathop {lim }limits_{x o + infty } left( {1 + sqrt {1 + {1 over {{x^2}}}} } ight) = 2 cr
& b = mathop {lim }limits_{x o + infty } left( {y - 2x} ight) = mathop {lim }limits_{x o + infty } left( {sqrt {{x^2} + 1} - x} ight) = mathop {lim }limits_{x o + infty } {1 over {sqrt {{x^2} + 1} + x}} = 0 cr} )

Đường thẳng (y = 2x) là tiệm cận xiên (khi (x o  + infty ))
* Tiệm cận khi (x o  - infty )
(mathop {lim }limits_{x o  - infty } y = mathop {lim }limits_{x o  - infty } left( {x + sqrt {{x^2} - 1} } ight) = mathop {lim }limits_{x o  - infty } {1 over {x - sqrt {{x^2} - 1} }} = 0)
Đường thẳng (y = 0) là tiệm cận ngang (khi (x o  - infty ))
d) TXĐ: (D =mathbb R)
* (a = mathop {lim }limits_{x o  + infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x o  + infty } sqrt {1 + {1 over x} + {1 over {{x^2}}}}  = 1)

(eqalign{
& b = mathop {lim }limits_{x o + infty } left( {y - x} ight) = mathop {lim }limits_{x o + infty } left( {sqrt {{x^2} + x + 1} - x} ight) cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = mathop {lim }limits_{x o + infty } {{x + 1} over {sqrt {{x^2} + x + 1} + x}} = mathop {lim }limits_{x o + infty } {{1 + {1 over x}} over {sqrt {1 + {1 over x} + {1 over {{x^2}}}} }+1} = {1 over 2} cr} )

Đường thẳng (y = x + {1 over 2}) là tiệm cận xiên (khi (x o  + infty ))
* (a = mathop {lim }limits_{x o  - infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x o  - infty } {{sqrt {{x^2} + x + 1} } over x} = mathop {lim }limits_{x o  - infty } {{ - xsqrt {1 + {1 over x} + {1 over {{x^2}}}} } over x} = mathop {lim }limits_{x o  - infty } -sqrt {1 + {1 over x} + {1 over {{x^2}}}}  =  - 1)
(b = mathop {lim }limits_{x o  - infty } left( {y + x} ight) = mathop {lim }limits_{x o  - infty } left( {sqrt {{x^2} + x + 1}  + x} ight) = mathop {lim }limits_{x o  - infty } {{x + 1} over {sqrt {{x^2} + x + 1}  - x}} = mathop {lim }limits_{x o  - infty } {{1 + {1 over x}} over { - sqrt {1 + {1 over x} + {1 over {{x^2}}}} }-1} =  - {1 over 2})
Đường thẳng (y =  - x - {1 over 2}) là tiệm cận xiên (khi (x o  - infty ))

soanbailop6.com