Bài 36 trang 207 Đại số 10 Nâng cao: Tính diện tích tam giác A’MA bằng hai cách khác nhau để suy ra: sin2α = 2sinα cosα...
Tính diện tích tam giác A’MA bằng hai cách khác nhau để suy ra: sin2α = 2sinα cosα. Bài 36 trang 207 SGK Đại số 10 Nâng cao – Bài 3. Giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt Với số (α,0 < alpha < {pi over 2}) , xét điểm M của đường tròn ...
Với số (α,0 < alpha < {pi over 2}) , xét điểm M của đường tròn lượng giác xác định bởi 2α , rồi xét tam giác vuông A’MA (A’ đối xứng với A qua tâm O của đường tròn).
a) Tính AM2 bằng hai cách khác nhau để suy ra: cos2α = 1 – 2sin2α
b) Tính diện tích tam giác A’MA bằng hai cách khác nhau để suy ra: sin2α = 2sinα cosα
c) Chứng minh: (sin {pi over 8} = {1 over 2}sqrt {2 – sqrt 2 } ;,,,cos {pi over 8} = {1 over 2}sqrt {2 + sqrt 2 } ) rồi tính các giá trị lượng giác của các góc ({{3pi } over 8}) và ({{5pi } over 8})
Đáp án
a) Ta có:
(eqalign{
& A{M^2} = overline {AH} .overline {{
m{AA}}} {
m{‘ = (}}overline {AO} + overline {OH} ).overline {{
m{AA}}’} cr
& = ( – 1 + cos 2alpha )( – 2) = 2(1 – cos 2alpha ) cr} )
Lại có: (A{M^2} = A{A^2}.si{n^2}alpha = 4si{n^2}alpha )
Vậy: (2si{n^2}alpha = 1-cos2alpha )
b) Ta có: ({S_{A’MA}} = {1 over 2}AA’.MH = MH = sin 2alpha )
Lại có:
({S_{A’MA}} = {1 over 2}A’M.AM = {1 over 2}A’Acos alpha .A’Asin alpha )
(= 2sin alpha cos alpha )
Vậy: (sin2α = 2sinα cosα)
c) Ta có: (cos {pi over 4} = 1 – 2{sin ^2}{pi over 8}) nên:
(eqalign{
& {sin ^2}{pi over 8} = {1 over 2}(1 – {{sqrt 2 } over 2}) = {{2 – sqrt 2 } over 4} cr
& sin {pi over 8} = {{sqrt {2 – sqrt 2 } } over 2} cr
& cos {pi over 4} = 2{cos ^2}{pi over 8} – 1 cr&Rightarrow {cos ^2}{pi over 8} = {1 over 2}(1 + {{sqrt 2 } over 2}) = {{2 + sqrt 2 } over 4} cr
& cos {pi over 8} = {{sqrt {2 + sqrt 2 } } over 2} cr
& {{3pi } over 8} = {pi over 2} – {pi over 8} Rightarrow left{ matrix{
cos {{3pi } over 8} = sin {pi over 8} = {{sqrt {2 – sqrt 2 } } over 2} hfill cr
sin {{3pi } over 8} = cos {pi over 8} = {{sqrt {2 + sqrt 2 } } over 2} hfill cr
an {{3pi } over 8} = cot {pi over 8} = sqrt 2 + 1 hfill cr
cot {{3pi } over 8} = an {pi over 8} = sqrt 2 – 1 hfill cr}
ight. cr
& {{5pi } over 8} = {pi over 2} + {pi over 8} Rightarrow left{ matrix{
cos {{5pi } over 8} = – sin {pi over 8} = {{sqrt {2 – sqrt 2 } } over 2} hfill cr
sin {{5pi } over 8} = cos {pi over 8} = {{sqrt {2 + sqrt 2 } } over 2} hfill cr
an {{5pi } over 8} = – cot {pi over 8} = – sqrt 2 – 1 hfill cr
cot {{5pi } over 8} = – an {pi over 8} = 1 – sqrt 2 hfill cr}
ight. cr} )
