Bài 32 trang 104 SGK Hình học 12 Nâng cao, Cho đường thẳng d và mặt phẳng có phương trình: . a) Tìm góc giữa d và . b) Tìm tọa độ giao...

Bài 32. Cho đường thẳng d và mặt phẳng (left( alpha  ight)) có phương trình:

(d:{{x – 2} over 2} = {{y + 1} over 3} = {{z – 1} over 5},,;,,left( alpha  ight):2x + y + z – 8 = 0).
a) Tìm góc giữa d và (left( alpha  ight)).
b) Tìm tọa độ giao điểm của d và (left( alpha  ight)).
c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên (left( alpha  ight)).

Giải

a) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương (overrightarrow u  = left( {2;3;5} ight)), (mpleft( alpha  ight)) có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n  = left( {2;1;1} ight)). Gọi (varphi ) là góc giữa d và (left( alpha  ight)) thì (0 le varphi  le {90^0}) và
(sin varphi  = {{left| {overrightarrow u .overrightarrow n } ight|} over {left| {overrightarrow u } ight|left| {overrightarrow n } ight|}} = {{left| {2.2 + 3.1 + 5.1} ight|} over {sqrt {4 + 9 + 25} .sqrt {4 + 1 + 1} }} = {6 over {sqrt {57} }}).
b) d có phương trình tham số

(left{ matrix{
x = 2 + 2t hfill cr
y = – 1 + 3t hfill cr
z = 1 + 5t hfill cr} ight.).

Thay x, y, z vào phương trình (left( alpha  ight)) ta có:

(2left( {2 + 2t} ight) + left( { – 1 + 3t} ight) + left( {1 + 5t} ight) = 0 Leftrightarrow t = {1 over 3})

Ta được giao điểm (Mleft( {{8 over 3};0;{8 over 3}} ight)).
c) Gọi (left( eta  ight)) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với (left( alpha  ight)) thì hình chiếu d’ của d trên (left( alpha  ight)) là giao tuyến của (left( alpha  ight)) và (left( eta  ight)). Bởi vậy ta cần tìm phương trình của (left( eta  ight)). Vectơ pháp tuyến (overrightarrow {{n_{(eta )}}} ) của (left( eta  ight)) vuông góc với cả (overrightarrow u ) và (overrightarrow n ) nên ta chọn (overrightarrow {{n_eta }}  = left[ {overrightarrow u ,overrightarrow n } ight] = left( { – 2;8; – 4} ight)). Ngoài ra, (left( eta  ight)) đi qua d nên cũng đi qua điểm (Aleft( {2; – 1;1} ight)). Do đó (left( eta  ight)) có phương trình:
( – 2left( {x – 2} ight) + 8left( {y + 1} ight) – 4left( {z – 1} ight) = 0 Leftrightarrow  – x + 4y – 2z + 8 = 0).
Hình chiếu d’ qua I và có vectơ chỉ phương:

(overrightarrow a = left[ {overrightarrow {{n_alpha }} ;overrightarrow {{n_eta }} } ight] = left( {left| matrix{
1,,,,,,,,,,,1 hfill cr
4,,,,,, – 2 hfill cr} ight|;,left| matrix{
1,,,,,,,,2 hfill cr
– 2,,,,, – 1, hfill cr} ight|;left| matrix{
2,,,,,,,,1 hfill cr
– 1,,,,,4 hfill cr} ight|} ight) = left( { – 6;3;9} ight) = 3left( { – 2;1;3} ight))

Vậy d’ có phương trình tham số là 

(left{ matrix{
x = {8 over 3} – 2t hfill cr
y = t hfill cr
z = {8 over 3} + 3t hfill cr} ight.)