Bài 30 trang 103 SGK Hình học 12 Nâng cao, Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng và cắt cả hai đường thẳng và , biết...

Bài 30. Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng ({d_1}) và cắt cả hai đường thẳng ({d_2}) và ({d_3}), biết phương trình của ({d_1},{d_2}) và ({d_3}) là:

({d_1}:left{ matrix{
x = 1 hfill cr
y = {- 2 + 4t} hfill cr
z ={ 1 – t} hfill cr} ight.)
( {d_2}:{{x – 1} over 1} = {{y + 2} over 4} = {{z – 2} over 3})
( {d_3}:left{ matrix{
x ={ – 4 + 5t’} hfill cr
y = {- 7 + 9t’} hfill cr
z = {t’} hfill cr} ight.)

Giải

Đường thẳng ({d_1}) có vectơ chỉ phương ({overrightarrow u _1} = left( {0;4; – 1} ight)), ({d_2}) có phương trình tham số là

(left{ matrix{
x = 1 + t hfill cr
y = – 2 + 4t hfill cr
z = 2 + 3t hfill cr} ight.)

Lấy điểm ({M_2}left( {1 + t; – 2 + 4t;2 + 3t} ight)) trên ({d_2}) và ({M_3}left( { – 4 + 5t’; – 7 + 9t’;t’} ight)) trên ({d_3}). Ta tìm t và t’ để (overrightarrow {{M_2}{M_3}} ) cùng phương với (overrightarrow {{u_1}} ).
Ta có (overrightarrow {{M_2}{M_3}}  = left( { – 5 + 5t’ – t; – 5 + 9t’ – 4t; – 2 + t’ – 3t} ight)), (overrightarrow {{M_2}{M_3}} ) cùng phương với (overrightarrow {{u_1}} ) khi và chỉ khi

(left{ matrix{
– 5 + 5t’ – t = 0 hfill cr
{{ – 5 + 9t’ – 4t} over 4} = {{ – 2 + t’ – 3t} over { – 1}} hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
t = 0 hfill cr
t’ = 1 hfill cr} ight.)

Khi đó ({M_2}left( {1; – 2;2} ight)) và (overrightarrow {{M_2}{M_3}}  = left( {0;4; – 1} ight)).
Vậy (Delta ) qua ({M_2},{M_3}) có phương trình:

(left{ matrix{
x = 1 hfill cr
y = – 2 + 4t hfill cr
z = 2 – t hfill cr} ight.).

Rõ ràng ({M_2} otin {d_1}). Vậy (Delta ) chính là đường thẳng cần tìm.