Bài 31 trang 103 SGK Hình học 12 Nâng cao, Cho hai đường thẳng và . a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng đó chéo nhau. b) Viết phương trình mặt...

Bài 31. Cho hai đường thẳng

({d_1}:left{ matrix{
x = 8 + t hfill cr
y = 5 + 2t hfill cr
z = 8 – t hfill cr} ight.) và ({d_2}:{{3 – x} over 7} = {{y – 1} over 2} = {{z – 1} over 3}).

a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng đó chéo nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và song song với ({d_1}) và ({d_2}).
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ({d_1}) và ({d_2}).
d) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

Giải

a) Đường thẳng ({d_1}) đi qua ({M_1}left( {8;5;8} ight)) có vectơ chỉ phương (overrightarrow {{u_1}} left( {1;2; – 1} ight)).
Đường thẳng ({d_2}) đi qua ({M_2}left( {3;1;1} ight)) có vectơ chỉ phương (overrightarrow {{u_2}} left( { – 7;2;3} ight)).
Ta có: (overrightarrow {{M_2}{M_1}}  = left( {5;4;7} ight),,;,,left[ {overrightarrow {{u_1}} ;overrightarrow {{u_2}} } ight] = left( {8;4;16} ight)).
Do đó (left[ {overrightarrow {{u_1}} ;overrightarrow {{u_2}} } ight].overrightarrow {{M_2}{M_1}}  = 168 e 0).
Vậy hai đường thẳng ({d_1}) và ({d_2}) chéo nhau.
b) Gọi (left( alpha  ight)) là mặt phẳng qua O song song với cả ({d_1}) và ({d_2}). (Mpleft( alpha  ight)) có vectơ pháp tuyến là (overrightarrow n  = {1 over 4}left[ {overrightarrow {{u_1}} ;overrightarrow {{u_2}} } ight] = left( {2;1;4} ight)).
Vậy (left( alpha  ight):2left( {x – 0} ight) + 1left( {y – 0} ight) + 4left( {z – 0} ight) = 0 Leftrightarrow 2x + y + 4z = 0).
Rõ ràng ({M_1},{M_2} otin left( alpha  ight)). Vậy (left( alpha  ight)) chính là mặt phẳng cần tìm.
c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ({d_1}) và ({d_2}) là:

(d = {{left| {left[ {overrightarrow {{u_1}} ,overrightarrow {{u_2}} } ight].overrightarrow {{M_2}{M_1}} } ight|} over {left| {left[ {overrightarrow {{u_1}} ,overrightarrow {{u_2}} } ight]} ight|}} = {{168} over {sqrt {{8^2} + {4^2} + {{16}^2}} }} = 2sqrt {21} )

d) Giả sử PQ là đường vuông góc chung của ({d_1}) và ({d_2}) với (P in {d_1},;,Q in {d_2}). Khi đó ta có các giá trị t và t’ sao cho: (Pleft( {8 + t,;5 + 2t,;,8 – t} ight),,Qleft( {3 – 7t’,;,1 + 2t’,;,1 + 3t’} ight)).
Ta có: (overrightarrow {PQ}  = left( { – 5 – 7t’ – t; – 4 + 2t’ – 2t; – 7 + 3t’ + t} ight)).
Vectơ (overrightarrow {PQ} ) đồng thời vuông góc với hai vectơ chỉ phương (overrightarrow {{u_1}} ) và (overrightarrow {{u_2}} ) nên

(eqalign{
& left{ matrix{
overrightarrow {PQ} .overrightarrow {{u_1}} = 0 hfill cr
overrightarrow {PQ} .overrightarrow {{u_2}} = 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
– 5 – 7t’ – t + 2left( { – 4 + 2t’ – 2t} ight) – left( { – 7 + 3t’ + t} ight) = 0 hfill cr
– 7left( { – 5 – 7t’ – t} ight) + 2left( { – 4 + 2t’ – 2t} ight) + 3left( { – 7 + 3t’ + t} ight) = 0 hfill cr} ight. cr
& Leftrightarrow left{ matrix{
– 6t’ – 6t = 6 hfill cr
62t’ + 6t = – 6 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
t’ = 0 hfill cr
t = – 1 hfill cr} ight. cr} )

Vậy (Pleft( {7;3;9} ight),,,Qleft( {3;1;1} ight)) và do đó, đường vuông góc chung của ({d_1}) và ({d_2}) có phương trình:

({{x – 3} over {7 – 3}} = {{y – 1} over {3 – 1}} = {{z – 1} over {9 – 1}} Leftrightarrow {{x – 3} over 2} = {{y – 1} over 1} = {{z – 1} over 4})