Bài 3.8 trang 102 sách bài tập (SBT) – Hình học 12: Trong không gian cho ba vecto tùy ý . Gọi . Chứng tỏ rằng ba...

Trong không gian cho ba vecto tùy ý (overrightarrow a ,overrightarrow b ,overrightarrow c ) . Gọi (overrightarrow u  = overrightarrow a  – 2overrightarrow b ,overrightarrow v  = 3overrightarrow b  – overrightarrow c ,overrightarrow { m{w}}  = 2overrightarrow c  – 3overrightarrow a ) .

Chứng tỏ rằng ba vecto (overrightarrow u ,overrightarrow v ,overrightarrow { m{w}} )  đồng phẳng.

Hướng dẫn làm bài:

Muốn chứng tỏ rằng ba vecto  (overrightarrow u ,overrightarrow v ,overrightarrow { m{w}} )  đồng phẳng ta cần tìm hai số thực p và q sao cho (overrightarrow { m{w}}  = poverrightarrow u  + qoverrightarrow v ).

Giả sử có (overrightarrow { m{w}}  = poverrightarrow u  + qoverrightarrow v )

(2overrightarrow c  – 3overrightarrow a  = p(overrightarrow a  – 2overrightarrow b ) + q(3overrightarrow b  – overrightarrow c ))

(Leftrightarrow  (3 + p)overrightarrow a  + (3q – 2p)overrightarrow b  – (q + 2)overrightarrow c  = overrightarrow 0 )     (1)

Vì ba vecto lấy tùy ý (overrightarrow a ,overrightarrow b ,overrightarrow c ) nên đẳng thức (1) xảy ra khi và chỉ khi:

(left{ {matrix{{3 + p = 0} cr {3q – 2p = 0} cr {q + 2 = 0} cr} } ight. Rightarrow  left{ {matrix{{p = – 3} cr {q = – 2} cr} } ight.)

Như vậy ta có:  (overrightarrow { m{w}}  =  – 3overrightarrow u  – 2overrightarrow v )  nên ba vecto  (overrightarrow u ,overrightarrow v ,overrightarrow { m{w}} ) đồng phẳng.