Bài 3.16 trang 103 sách bài tập (SBT) – Hình học 12: Trong không gian Oxyz hãy viết phương trình mặt cầu đi qua bốn...

Trong không gian Oxyz hãy viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm  A(1; 0; 0), B(0; -2; 0), C(0; 0; 4) và gốc tọa độ O. Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

Hướng dẫn làm bài:

Phương trình mặt cầu (S) cần tìm có dạng: x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0.

Vì   (A in (S)) nên ta có:  1 – 2a + d =0         (1)

   (B in (S))  nên ta có: 4 + 4b + d = 0         (2)

   (C in (S)) nên ta có: 16 – 8c + d = 0        (3)

   (D in (S))  nên ta có:  d = 0                     (4)

Giải hệ 4 phương trình trên ta có:  (d = 0,a = {1 over 2},b =  – 1,c = 2).

Vậy mặt cầu (S) cần tìm có phương trình là: x² + y² + z² –x + 2y – 4z = 0

Phương trình mặt cầu (S) có thể viết dưới dạng:

({(x – {1 over 2})^2} + {(y + 1)^2} + {(z – 2)^2} – {1 over 4} – 1 – 4 = 0)

( Leftrightarrow  {(x – {1 over 2})^2} + {(y + 1)^2} + {(z – 2)^2} = {{21} over 4}) 

Vậy mặt cầu (S) có tâm (I({1 over 2}; – 1;2)) và có bán kính (r = {{sqrt {21} } over 2})