Bài 3.65 trang 164 SBT Toán Hình Học 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C)...

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C)  : ({(x – 1)^2} + {(y – 2)^2} = 4) và đường thẳng  d: x – y – 1 = 0. Viết phương trình đường tròn (C ’) đối xứng vơi đường tròng (C) qua đường thẳng d. Tìm tọa độ các giao điểm của (C ’) và (C).

Gợi ý làm bài

(Xem hình 3.23)

Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là (overrightarrow n  = left( {1; – 1} ight).) Do đó đường thẳng (Delta ) đi qua tâm (Ileft( {1;2} ight)) và vuông góc với d có phương trình :

({{x – 1} over 1} = {{y – 2} over { – 1}} Leftrightarrow x + y – 3 = 0.)

Tọa độ giao điểm H của d và  là nghiệm của hệ phương trình :

(left{ matrix{
x – y – 1 = 0 hfill cr
x + y – 3 = 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
x = 2 hfill cr
y = 1 hfill cr} ight. Rightarrow Hleft( {2;1} ight))

Gọi J là điểm đối xứng của I qua d. Khi đó : 

(left{ matrix{
{x_J} = 2{x_H} – {x_I} = 3 hfill cr
{y_J} = 2{y_H} – {y_I} = 0 hfill cr} ight. Rightarrow J(3;0).)

Vì (C ’) đối xứng với (C ) qua d nên (C ’) có tâm là (Jleft( {3;0} ight)) và bán kính R = 2. 

Do đó (C ’) có phương trình là : 

({left( {x – 3} ight)^2} + {y^2} = 4)

Tọa độ các giao điểm của (C ) và (C ’) là nghiệm của hệ phương trình :

(left{ matrix{
{left( {x – 1} ight)^2} + {left( {y – 2} ight)^2} = 4 hfill cr
{left( {x – 3} ight)^2} + {y^2} = 4 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
x – y – 1 = 0 hfill cr
{left( {x – 3} ight)^2} + {y^2} = 4 hfill cr} ight.)

( Leftrightarrow left{ matrix{
y = x – 1 hfill cr
2{x^2} – 8x + 6 = 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
x = 1,y = 0 hfill cr
x = 3,y = 2. hfill cr} ight.)

Vậy tọa độ giao điểm của (C ) và (C ’) là A(1 ; 0) và B(3 ; 2).