Bài 3.55 trang 163 SBT Toán Hình Học 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn...

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : ({(x – 2)^2} + {y^2} = {4 over 5}) và đường thẳng ({Delta _1}:x – y = 0), ({Delta _2}:x – 7y = 0). Xác định tọa độ tâm K vàn bán kính của đường tròn (C1) ; biết đường tròng (C1) tiếp xúc với các đường thẳng ({Delta _1}), ({Delta _2}) và tâm K không thuộc đường tròn (C).

Gợi ý làm bài

(Xem hình 3.15)

Gọi (Kleft( {a;b} ight),;,k in (C) Leftrightarrow {left( {a – 2} ight)^2} + {b^2} = {5 over 4},,,,,(1))

(({C_1})) tiếp xúc với ({Delta _1},{Delta _2} Leftrightarrow {{left| {a – b} ight|} over {sqrt 2 }} = {{left| {a – 7b} ight|} over {5sqrt 2 }},,(2).)

Từ (1) và (2) cho ta : 

(left{ matrix{
5{left( {a – 2} ight)^2} + 5{b^2} = 4 hfill cr
5left| {a – b} ight| = left| {a – 7b} ight| hfill cr} ight.)

( Leftrightarrow left{ matrix{
5{left( {a – 2} ight)^2} + 5{b^2} = 4 hfill cr
5left( {a – b} ight) = a – 7b hfill cr} ight.,,,,(I),,,)

và 

(left{ matrix{
5{left( {a – 2} ight)^2} + 5{b^2} = 4 hfill cr
5(a – b) = 7b – a hfill cr} ight.,,,,,,(II))

((I) Leftrightarrow left{ matrix{
25{a^2} – 20a + 16 = 0 hfill cr
b = – 2a hfill cr} ight.)

(vô nghiệm)

((II) Leftrightarrow left{ matrix{
a = 2b hfill cr
25{b^2} – 40b + 16 = 0 hfill cr} ight.)

( Leftrightarrow left( {a;b} ight) = left( {{8 over 5};{4 over 5}} ight).)

Bán kính (C1): (R = {{left| {a – b} ight|} over {sqrt 2 }} = {{2sqrt 2 } over 5}.)

Vậy (Kleft( {{8 over 5};{4 over 5}} ight)) và (R = {{2sqrt 2 } over 5}.)