Bài 3.16 trang 179 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-a; a]. Chứng minh rằng:

Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-a; a]. Chứng minh rằng:                              

(intlimits_{ - a}^a {f(x)dx = } left{ {matrix{{2intlimits_0^a {f(x)dx,(1)} } cr {0,(2)} cr} } ight.)

(1) : nếu f là hàm số chẵn

(2): nếu f là hàm số lẻ.

Áp dụng để tính: (intlimits_{ - 2}^2 {ln (x + sqrt {1 + {x^2}} } )dx)

Hướng dẫn làm bài

Giả sử hàm số f(x) là hàm số chẵn trên đoạn [-a; a], ta có:

                      (intlimits_{ - a}^a {f(x)dx = intlimits_{ - a}^0 {f(x)dx + intlimits_0^a {f(x)dx} } } )

Đổi biến x = - t đối với tích phân (intlimits_{ - a}^0 {f(x)dx} ) , ta được:

 (intlimits_{ - a}^0 {f(x)dx =  - intlimits_a^0 {f( - t)dt = intlimits_0^a {f(t)dt = intlimits_0^a {f(x)dx} } } } )

Vậy (intlimits_{ - a}^a {f(x)dx = 2intlimits_0^a {f(x)dx} } )

Trường hợp sau chứng minh tương tự. Áp dụng:

Vì (g(x) = ln (x + sqrt {1 + {x^2}} ))  là hàm số lẻ trên đoạn [-2; 2] nên    (intlimits_{ - 2}^2 {g(x)dx = 0})

Sachbaitap.com