Bài 29 trang 206 SGK Giải tích 12 nâng cao, Dùng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn...

Bài 29. Dùng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ({left( {1 + i} ight)^{19}}) và công thức Moa-vrơ để tính 

(C_{19}^0 – C_{19}^2 + C_{19}^4 – … + C_{19}^{16} – C_{19}^{18}.)

Giải

Theo nhị thức Niu-tơn ta có:

({left( {1 + i} ight)^{19}} = (C_{19}^0 + C_{19}^2{i^2} + C_{19}^4{i^2} + … + C_{19}^{16}{i^2} + C_{19}^{18}{i^2}) + (C_{19}^1i + C_{19}^3{i^3} + … + C_{19}^{19}))

Phần thực ở vế phải là: (C_{19}^0 – C_{19}^2 + C_{19}^4 – … + C_{19}^{16} – C_{19}^{18}.)

Mặt khác:

(eqalign{
& {left( {1 + i} ight)^{19}} = {left[ {sqrt 2 left( {cos {pi over 4} + isin {pi over 4}} ight)} ight]^{19}} = {left( {sqrt 2 } ight)^{19}}left( {cos {{19pi } over 4} + isin {{19pi } over 4}} ight) cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = {left( {sqrt 2 } ight)^{19}}left( { – {{sqrt 2 } over 2} + i{{sqrt 2 } over 2}} ight) = – {2^9} + {2^9}i cr
& Rightarrow C_{19}^0 – C_{19}^2 + C_{19}^4 – … + C_{19}^{16} – C_{19}^{18} =- {2^9} = – 512. cr} )