Câu 3 trang 211 SGK Giải tích 12 Nâng cao, Chứng minh rằng trên khoảng (0, +∞); (C) nằm ở phía dưới đường thẳng (D)...

Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = ln x và (D) là một tiếp tuyến bất kỳ của (C).

Chứng mình rằng trên khoảng (0, +∞); (C) nằm ở phía dưới đường thẳng (D).

Giải

Giả sử M(x₀, lnx₀) ∈ (C) (x₀ > 0 )

Ta có: (y’ = {1 over x})

Tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình là:

(y = {1 over {{x_0}}}(x – {x_o}) + ln {x_0})

Vậy với mọi x ∈ (0,+∞), ta cần chứng minh:          

(eqalign{
& {1 over {{x_0}}}(x – {x_0}) + ln {x_0} ge ln x cr
& Leftrightarrow {x over {{x_0}}} – 1 – ln {x over {{x_0}}} ge 0 cr} ) 

Đặt (t = {x over {{x_0}}} > 0)

Xét hàm số (g(t) = t – ln t) với t > 0

(eqalign{
& g’ = 1 – {1 over t} = {{t – 1} over t} cr
& g’ = 0 Leftrightarrow y = t = 1 cr} ) 

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có (g(t) ≥ 1) với mọi (t in (0, +∞))

( Rightarrow t – ln t – 1 ge 0 Rightarrow {x over {{x_0}}} – 1 – ln {x over {{x_0}}} ge 0) với mọi (x > 0)

Vậy trên ((0; +∞)) (C) nằm phía dưới đường thẳng (D)