Bài 6 trang 190 SGK Giải tích 12 nâng cao, Chứng minh rằng: a) Phần thực của số phức z bằng…...

Bài 6. Chứng minh rằng:

a) Phần thực của số phức z bằng ({1 over 2}left( {z + overline z } ight)), phần ảo của số phức z bằng ({1 over {2i}}left( {z – overline z } ight);)

b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi (z =  – overline z ;)

c) Với mọi số phức z, z’, ta có (overline {z + z’}  = overline z  + overline {z’} ,,overline {zz’}  = overline z .,overline {z’} ), và nếu (z e 0) thì ({{overline {z’} } over {overline z }} = overline {left( {{{z’} over z}} ight)} ).

Giải

a) Giả sử (z=a+bi;(a,binmathbb R)) thì (overline z  = a – bi)

Từ đó suy ra (a = {1 over 2}left( {z + overline z } ight);,,b = {1 over {2i}}left( {z – overline z } ight))

b) z là số ảo khi và chỉ khi phần thực của z bằng 0

   (Leftrightarrow {1 over 2}left( {z + overline z } ight) = 0 Leftrightarrow z =  – overline z )

c) Giả sử (z=a+bi;; z’=a’+b’i) ((a,b,a’,b’inmathbb R))

Ta có: 

(eqalign{
& overline {z + z’} = overline {(a + a’) + (b + b’)i} = a + a’ – (b + b’)i cr
& ,,,,,,,,,,,,,,, = a – bi + a’ – b’i = overline z + overline {z’} cr
& overline {z.z’} = overline {left( {a + bi} ight).left( {a’ + b’i} ight)} = overline {left( {aa’ – bb’} ight) + left( {ab’ + a’b} ight)i} cr
& ,,,,,,,,,, = aa’ – bb’ – left( {ab’ + a’b} ight)i cr
& ,,,,,,,,,, = left( {a – bi} ight)left( {a’ – b’i} ight) = overline z .overline {z’} cr
& overline {left( {{{z’} over z}} ight)} = overline {left( {{{z’.overline z } over {z.overline z }}} ight)} = {1 over {z.overline z }}.overline {z’} .overline {overline z } = {1 over {z.overline z }}.overline {z’} .z = {{overline {z’} } over {overline z }} cr} )