Bài 24 trang 102 SGK Hình học 12 Nâng cao, Viết phương trình tham số và chính tắc (nếu có) của các đường thẳng sau đây:...

Bài 24. Viết phương trình tham số và chính tắc (nếu có) của các đường thẳng sau đây:

a) Các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.

b) Các đường thẳng đi qua điểm ({M_0}left( {{x_0};{y_0};{z_0}} ight)) (với ({x_0}.{y_0}.{z_0} e 0)) và song song với mỗi trục tọa độ;

c) Đường thẳng đi qua (Mleft( {2;0; – 1} ight)) và có vectơ chỉ phương (overrightarrow u  = left( { – 1;3;5} ight));

d) Đường thẳng đi qua (Nleft( { – 2;1;2} ight)) và có vectơ chỉ phương (overrightarrow u  = left( {0;0; – 3} ight));

e) Đường thẳng đi qua (Nleft( {3;2;1} ight)) và vuông góc với mặt phẳng (2x – 5y + 4 = 0);

g) Đường thẳng đi qua (Pleft( {2;3; – 1} ight)) và (Qleft( {1;2;4} ight)).

Giải

a) Trục Ox đi qua O(0; 0; 0) và có vectơ chỉ phương (overrightarrow i  = left( {1;0;0} ight)) nên có phương trình tham số là 

(left{ matrix{
x = t hfill cr
y = 0 hfill cr
z = 0 hfill cr} ight.)

Tương tự, trục Oy có phương trình tham số là

(left{ matrix{
x = 0 hfill cr
y = t hfill cr
z = 0 hfill cr} ight.)

Trục Oz có phương trình tham số là

(left{ matrix{
x = 0 hfill cr
y = 0 hfill cr
z = t hfill cr} ight.)

Các phương trình đó không có phương trình chính tắc.

b) Đường thẳng đi qua ({M_0}left( {{x_0};{y_0};{z_0}} ight)) song song với trục Ox có vectơ chỉ phương (overrightarrow i  = left( {1;0;0} ight)) nên có phương trình tham số là 

(left{ matrix{
x = {x_0} + t hfill cr
y = {y_0} hfill cr
z = {z_0} hfill cr} ight.)

Tương tự đường thẳng đi qua ({M_0}) với trục Oy có phương trình tham số là (left{ matrix{
x = {x_0} hfill cr 
y = {y_0} + t hfill cr 
z = {z_0} hfill cr} ight.)

Đường thẳng đi qua ({M_0}) với trục Oz có phương trình tham số là

(left{ matrix{
x = {x_0} hfill cr
y = {y_0} hfill cr
z = {z_0} + t hfill cr} ight.)

Các đường thẳng trên không có phương trình chính tắc.

c) Đường thẳng đi qua (Mleft( {2;0; – 1} ight)) có vectơ chỉ phương có phương trình tham số: (overrightarrow u  = left( { – 1;3;5} ight)) Tương tự đường thẳng đi qua ({M_0}) với trục Oy có phương trình tham số là

(left{ matrix{
x = 2 – t hfill cr
y = 3t hfill cr
z = – 1 + 5t hfill cr} ight.) và có phương trình chính tắc ({{x – 2} over { – 1}} = {y over 3} = {{z + 1} over 5}).

d) Đường thẳng đi qua (Nleft( { – 2;1;2} ight)) và có vectơ chỉ phương (overrightarrow u  = left( {0;0; – 3} ight)) có phương trình tham số

(left{ matrix{
x = – 2 hfill cr
y = 1 hfill cr
z = 2 – 3t hfill cr} ight.)

Không có phương trình chính tắc.

e) Vectơ chỉ phương (overrightarrow u ) của đường thẳng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (2x – 5y + 4 = 0) nên (overrightarrow u  = left( {2; – 5;0} ight)).

Vậy đường thẳng có phương trình tham số

(left{ matrix{
x = 3 + 2t hfill cr
y = 2 – 5t hfill cr
z = 1 hfill cr} ight.)

Không có phương trình chính tắc.

g) Đường thẳng đi qua (Pleft( {2;3; – 1} ight)) có vectơ chỉ phương (overrightarrow {PQ}  = left( { – 1; – 1;5} ight)) nên có phương trình tham số là

(left{ matrix{
x = 2 – t hfill cr
y = 3 – t hfill cr
z = – 1 + 5t hfill cr} ight.)

và có phương trình chính tắc là ({{x – 2} over { – 1}} = {{y – 3} over { – 1}} = {{z + 1} over 5})